Por qué $\{0,1\}$ es un clasificador de subobjetos en $Sets$

Question

No quiero utilizar el hecho de que los pullbacks en $Sets$ son sólo subconjuntos de $X \times Y$

Aquí $p_1$ y $q_1$ son únicos (porque $1$ es objeto terminal), $f(1) = 1$ . Queremos tener $g$ especificando inyección $p_2$ .

$f \circ p_1 = g \circ p_2 \Leftrightarrow g(p_2(x))=1 \Leftrightarrow g|_P (x) = 1$

También necesitamos $u$ para $q_2$

$p_2 \circ u = q_2 \Leftrightarrow u = q_2|_Y$

Así que la única condición para $g$ est $g|_P (x) = 1$ . Por qué también tenemos $g|_{Y \backslash P} (x) = 0$ ?

Answer 1

Necesitas $u$ existir para todos $Q$ y $q_2$ que hacen que el diagrama exterior conmute. Si tienes un punto $x\in Y\setminus P$ tal que $g(x)=1$ entonces puede dejar que $Q=\{x\}$ y $q_2$ sea la inclusión, y entonces no $u$ existirá haciendo que el diagrama conmute.

Answer 2

Recuerde que la definición de un clasificador de subobjetos no sólo requiere que un determinado cuadrado viaje al trabajo sino que sea un pullback . Es cierto que mientras $g(P)=\{1\}$ el cuadrado $p_1, p_2, f, g$ se desplazará.

Sin embargo, supongamos $g(x)=1$ para algunos $x\not\in P$ . Entonces $Q=\{x\}$ , $q_2$ la incrustación obvia de $Q$ como subconjunto de $Y$ y $q_1$ el único mapa posible. Ahora hay no $u$ que hacen que el diagrama más grande conmute: ¿dónde puede tal $u$ enviar $x$ ?