Cálculo de la covarianza de un proceso de ruido blanco no estrictamente estacionario

Question

Estoy leyendo "Econometría" de Hayashi, y en el capítulo 2, página 101 habla del siguiente proceso de ruido blanco:

Entiendo los cálculos para la media y la varianza esperadas, pero no puedo entender por qué la covarianza sería 0 para $i\neq j$ .

Desde $E(z_i)=0$ la expresión de la covarianza se reduciría a $E(\cos(iw)\cdotp \cos(jw))$ . ¿Le importaría a alguien mostrarme por qué esto llega a cero? Asumiendo por el momento que $cos(iw)$ es positivo, entonces $\cos((i+1)w)$ sería negativo y así sucesivamente. Pero ¿por qué habría 0 de covarianza para cualesquiera dos $i$ y $j$ , $i\neq j$ ? Sé que es una pregunta sencilla, pero no consigo entenderla.

Answer 1

Utilice identidades trigonométricas (desplácese hacia abajo hasta las identidades de suma y diferencia de ángulos):

$$\cos(iw)\cdot\cos(jw)=\frac{1}{2}\left(\cos((i+j)w)+\cos((i-j)w)\right)$$

A continuación, sustituye esta fórmula por la siguiente ecuación:

\begin{align} E\cos(iw)\cdot\cos(jw)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(iw)\cdot\cos(jw)dw \end{align}

y utilizar el hecho de que

\begin{align} \int_0^{2\pi}\cos(kw)dw=0 \end{align}

para $k\in\mathbb{N}$ .