Para la pregunta general acerca de cómo categórica conceptos mirar cuando se aplica a la métrica de los espacios, un lugar para buscar es Lawvere papel de "Tomar las categorías en serio', la sección 6 en adelante.
Aparte de eso, aquí hay un par de ejemplos.
Functor categorías se convirtieron en espacios de funciones con el uniforme o sup métrica. Es decir, si $A$ $B$ son de métrica espacios interpretarse como enriquecido categorías, entonces el functor categoría $B^A$ es el conjunto de la distancia-la disminución de los mapas de $A \to B$ con el sup métrica. (Yo uso "disminución" en el no-sentido estricto.)
El (cartesiano) producto $A \times B$ de dos espacios métricos --- que es su producto en la categoría de espacios métricos --- tiene el '$\infty$-métrica':
$$
d((a, b), (a', b')) = \max\{d(a, a'), d(b, b')\}.
$$
Lo mismo va para los productos infinite --- recordar que el $\infty$ es permitido como una distancia. Una vez que sabes esto, los límites en el trabajo en general, en la forma obvia.
El subproducto $A + B$ de dos espacios métricos $A$ $B$ es su distinto de la unión, con $d(a, b) = d(b, a) = \infty$ todos los $a \in A, b \in B$. De nuevo, es crucial aquí para permitir la $\infty$ como una distancia. De lo contrario, su categoría de espacios métricos le falta un montón de límites y colimits. El coequalizer de dos mapas de $f, g: A \to B$ $B$ quotiented a cabo por la costumbre de equivalencia de la relación de $\sim$ (igual que en la categoría de conjuntos), y metrized por
$$
d([b], [b']) = \inf\{ d(y, y'): y \sim b, y' \sim b'\}
$$
donde $[b]$ denota la clase de equivalencia de a $b$. General colimits funcionan de manera similar.
He mencionado el producto cartesiano, pero hay otro tipo de producto. Por lo general, si $\mathbf{V}$ es una categoría monoidal, a continuación, cualquiera de los dos $\mathbf{V}$enriquecido categorías, $A$$B$, tienen un producto tensor $A \otimes B$. Su conjunto de objetos es el producto de los conjuntos de objetos de $A$$B$. Sus hom-los objetos son dados por
$$
(A \otimes B)((a, b), (a', b')) = A(a, a') \otimes B(b, b').
$$
Esto nos da un producto tensor de espacios métricos. Métrica determinada espacios de $A$$B$, el punto de $A \otimes B$ es el producto de la punto-conjuntos de $A$$B$. La distancia está dada por
$$
d((a, b), (a', b')) = d(a, a') + d(b, b').
$$
En otras palabras, es el '$1$-métrica', también conocido como el taxi métrica de Manhattan, métrica, etc.
Así, Andrew, cuando se pregunta " ¿Qué es un monoidal espacio métrico?', usted tiene que decir que producto desea ser monoidal con respeto. Es decir, ¿estás preguntando acerca de la (débil) monoids en $(\mathbf{Met}, \times)$ o en $(\mathbf{Met}, \otimes)$?
Desde el tono de su pregunta, me parece que es: ambos. Así que aquí va.
La respuesta para el producto cartesiano $\times$ no parece tan interesante. Suponiendo que la métrica espacios satisfacer la clásica skeletality axioma ($d(a, b) = 0 \Rightarrow a = b$), una categoría monoidal para $\times$ es un espacio métrico $A$ equipada con un monoid estructura en su conjunto de puntos tales que
$$
d(a \cdot b, a' \cdot b') \leq \max\{d(a, a'), d(b, b')\}.
$$
Yo no puedo pensar en nada más que decir sobre eso.
La respuesta para el producto tensor $\otimes$ le parece más interesante. Un monoid en $(\mathbf{Met}, \otimes)$ es un espacio métrico $A$ equipada con un monoid estructura en su conjunto de puntos tales que para todos los $a$, los mapas de $a\cdot -$ $- \cdot a$ son a distancia disminuyendo. Por ejemplo, si es un grupo, entonces esto nos dice que a la izquierda o a la derecha de la traducción siempre es una isometría. Esto sucede a menudo: considerar el subyacente aditivo grupo de una normativa espacio vectorial, por ejemplo.
