Me temo que hay una miríada de problemas con su enfoque. No estás tomando derivados con respecto a complejos $z$ correctamente; de hecho, el hecho de que usted tomara dos, con respecto a ambos $z$ y $z^*$ es sospechoso ¡son la misma variable! Y también hay que tener cuidado al construir el Lagrangiano.
La forma más sencilla de hacerlo es escribir el problema equivalente en valores reales: \begin{array}{ll} \text{minimize} & z_R^2 + z_I^2 \\ \text{subject to} & z_R = z_R + 0 \\ & z_I = - z_I + 1 \\ \end{array} Por supuesto, en este punto, podemos ver la respuesta por inspección: $z_R=0$ , $z_I=1/2$ . Pero si estamos tan locos como para construir el Lagrangiano, podemos hacerlo: $$L(z_R,z_I,\lambda_R,\lambda_I) = z_R^2+z_I^2-\lambda_R\cdot 0 - \lambda_I\cdot(2z_I-1)$$ Entonces las condiciones de optimalidad son $$2z_R = 0 \qquad 2z_I - 2\lambda_I = 0 \qquad 2z_I - 1 = 0$$ y de nuevo obtenemos $z_R=0$ , $z_I=1/2$ . $\lambda_R$ es arbitraria, y $\lambda_i = z_I=1/2$ .
Ahora vamos a mostrar cómo hacer esto como en el dominio complejo. El multiplicador de Lagrange $\lambda$ es compleja, porque la restricción de igualdad es compleja. Pero el producto interior que tenemos que utilizar es un real producto interior $\langle a,b\rangle=\Re(a^*b)$ porque el Lagrangiano es una expresión real : $$L(z,\lambda) = \langle z, z \rangle - \langle \lambda, z-z^*-1 \rangle = z^* z - \Re(\lambda^*(z-z^*-1))$$ Entonces, ¿cómo diablos diferenciar con respecto a complejo $z$ ? Bueno, me gustaría poder decirte un buen recurso aquí. Pero lo que yo hago es tratarla como una función multivariante (porque en un sentido real, lo es), y mirarla como un gradiente. Para las formas lineales y cuadráticas, tenemos $$\nabla_z \langle a, z \rangle = \nabla_z \Re(a^*z) = \nabla_z \Re(az^*) = a, \quad \nabla_z (z^*z) = 2z.$$ Por tanto, la condición de optimalidad es $$2z - \lambda + \lambda^* = 2z - 2i\Im(\lambda) = 0 \qquad 2z = i$$ y tenemos $z=\tfrac{1}{2}i$ y $\Im(\lambda)=1/2$ con $\Re(\lambda)$ arbitraria.
Voy a ser honesto, no me sorprenderá si alguien viene y critica mi enfoque del cálculo en la versión compleja. Creo que nunca he recibido una instrucción formal, simplemente he derivado lo necesario para que la optimización sea correcta. La clave aquí es que debe ser matemáticamente equivalente a la versión real si se quiere que tenga algún sentido. La optimización sólo se produce con objetivos reales y Lagrangianos reales, por lo que los multiplicadores, los productos internos y las derivadas deben definirse para llegar a ese punto.
