Si $X$ y $Y$ son espacios de base, sea $p_X: X\vee Y\to X$ sea el mapa de pliegues, o proyección, sobre $X$ .
¿Cuál es la fibra de homotopía $F$ de $p_X$ ?
Creo que tengo un argumento que $F$ es el producto de medio golpe $$Y\rtimes\Omega X := (Y\times\Omega X)/(\ast\times \Omega X).$$ Pero no estoy totalmente seguro de ello y me gustaría tener una referencia, si es que existe.
Consideraré sobrecategorías de la forma $Top/S$ , $S\in Top$ . Sus objetos son morfismos $R\to S$ sus morfismos son triángulos, conmutativos hasta una homotopía (especificada), etc. Para más detalles, véase este . Si tenemos un morfismo $X \stackrel{f}{\to} Y$ entonces tenemos un par adjunto de functores $$\begin{eqnarray*} f_* \colon Top/X & \leftrightarrows & Top/Y \colon f^*\\ f_* & \dashv & f^* \end{eqnarray*}$$
Aquí $f_*$ mapas $Z\to X$ a la composición $Z \to X \to Y$ mientras que $f^*$ mapas $Z\to Y$ a $Z \times_Y X \to X$ . Además, tenemos un adjunto derecho $f^* \dashv f_!$ donde $f_!$ es el functor "espacio de secciones". Para $Y=\ast$ mapas $Z\to X$ al espacio de sus secciones, y para general $Y$ actúa así en cada punto $y\in Y$ .
No necesitamos las definiciones exactas de estos adjuntos, sólo necesitamos saber su existencia, lo que implica que $f^*$ conserva todos los límites y colímites. Ahora, observe que $Top\simeq Top/\ast$ y la fibra de $X\vee Y\stackrel{p}{\to} X$ es lo mismo que $f^*(p)\in Top$ donde $f\colon \ast \to X$ es la inclusión de punto y consideramos $p$ como objeto de $Top/X$ . Ahora expresaremos $p$ como colímite de objetos simples y obtener la respuesta.
Observe que $X\vee Y = \mathrm{Colim}\left( X \leftarrow \ast \to Y \right)$ en $Top$ y el mapa de pliegues es inducido por los mapas $X = X$ y $Y\to \ast \stackrel{f}{\to} X$ . Dibujaría aquí un diagrama homotópico conmutativo, pero no sé cómo hacerlo en MO. De todos modos, esto es lo mismo que la afirmación de que el producto cofibrado de $X=X$ , $\ast \stackrel{f}{\to} X$ y $Y\stackrel{\ast}{\to}X$ en sobrecategoría $Top/X$ es $p$ . Desde $f^*$ preserva los colímetros, la fibra de $p$ es igual al colímite de fibras de estos mapas. Ahora tenemos $$\begin{eqnarray*} f^*(X=X) & = & \ast \\ f^*(\ast\stackrel{f}{\to}X) & = & \Omega X \\ f^*(Y\stackrel{\ast}{\to} X) & = & Y \times \Omega X \end{eqnarray*}$$
Así, la fibra de $p$ es la misma que la cofibra de incrustación $\Omega X \to Y\times \Omega X$ . Este es el producto a medio aplastar que mencionas.
El resumen sintético de casi todos los enfoques descritos (esto es sólo para dar una forumalation más fácil del cálculo real) es a veces llamado teorema del cubo de Mather, a veces teorema de Ganea (fibra), a veces "aplanamiento"; Me gusta llamarlo distributividad, porque decategoriza a la ecuación $ x ( y + z) = (xy) + (xz)$ .
Llama a la fibra que quieras $F$ . La suma de cuñas $X\vee Y$ es un pushout \begin{array}{c} \bullet & \to & X \\ \downarrow & \ulcorner & \downarrow\\ Y & \to & X\vee Y \end{array} y el mapa $X\vee Y\to X$ (normalmente llamado "pellizco") restringe como $1_X$ en $X$ y como $0: Y\to X$ en $Y$ . Por los lemas de pegado, las fibras de los compuestos $Y \to X$ y $ X \to X $ son los retrocesos de $F$ a lo largo de $Y \to X\vee Y$ y a lo largo de $X \to X\vee Y$ y, por supuesto, la fibra de $ \bullet\to X$ es $\Omega X$ Pero conocemos estas fibras porque son fáciles de describir; por la universalidad de esta última fibra, existe un cubo coherente: \begin{array}{c} \Omega X & & & \to & & & \bullet \\ & \searrow & & & & \swarrow \\ & & \bullet & \to & X \\ \downarrow & &\downarrow & \ulcorner & \downarrow & & \downarrow \\ & & Y & \to & X\vee Y\\ & \nearrow & & & & \nwarrow \\ Y \Omega X & & & \to & & & F \end{array} Lo que dice la distributividad (aplanamiento/Mather/Ganea) es que, como el cuadrado inferior (pequeño, interior) es un pushout, y los cuadrados verticales (distorsionados) son todos pull-backs, y todo el cubo es coherente, entonces el cuadrado superior (grande) es, como el cuadrado inferior, un pushout. Es decir, $F\sim Y \Omega X / \Omega X $ es el semi-smash que estabas sospechando.
Es importante asegurarse de entender los mapas entre las fibras conocidas, al hacer estos cálculos; no todos los mapas $A B \to B$ ¡son la proyección obvia! En el caso que nos ocupa, simplemente no hay demasiados mapas $\Omega X \to \bullet$ y puede elegir la estructura de $\Omega X$ a través de la fibra de $Y\Omega X \to Y$ como en el cuadrado de la izquierda.
Como "un tipo de la calle", una vez pregunté aquí en qué medida se cumple la ley distributiva, y la respuesta de Jacob Lurie fue que, según Rezk, entre las categorías homotópicas las que cumplen la ley distributiva son probablemente topos homotópicos. No sé hasta qué punto esto te ayuda, pero si buscas "cubo de Mather", "fibra de Ganea" o "aplanamiento" encontrarás muchas referencias relevantes.
No conozco ninguna referencia pero hay una aproximación muy realista, que consiste en utilizar la construcción de la fibra homotópica de $f:S\to T$ como el subespacio de $S \times PT$ dado por $\{(s,\gamma)\mid \gamma : [0,1] \to T, \gamma(0)=\ast, \gamma(1)=f(s)\}$ . Para el mapa de pliegues se obtiene $Y\times \Omega X$ (por parejas $(s,\gamma)$ con $s\in Y$ ) y $PX$ (para parejas con $s \in X$ ) pegado a lo largo de $\Omega X$ . Cociente por el espacio contractible $PX$ obtienes lo que llamabas el producto medio aplastante.
Creo que la forma más fácil de conseguir lo que quieres es utilizar el enfoque de Omar Antolín-Camarena. Sólo quiero señalar que el resultado es en realidad un caso muy especial de algo que es mucho más generalmente cierto: en ciertos casos especiales, se puede conmutar un límite homotópico con un colímite homotópico. (Véase más abajo).
Supongamos que $I \to \text{Top}/X$ es un diagrama de espacios sobre un espacio fijo $X$ donde $I$ es una categoría de indexación finita. Llamemos a los objetos del diagrama $Y_\alpha$ donde $\alpha$ varía a través de los objetos de $I$ . Sea $$ Y = \text{hocolim}_{\alpha} Y_\alpha $$ sea el colímite homotópico del diagrama. Entonces $Y \in \text{Top}/X$ es un objeto.
Entonces Supongamos $X' \to X$ es un mapa. Defina $Z_\alpha$ sea el límite homotópico $$ \text{holim}(X' \to X \leftarrow Y_{\alpha}) $$ Esto da un diagrama $I \to \text{Top}/X'$ .
Afirmación: El colímite homotópico del diagrama $\alpha \mapsto Z_\alpha$ coincide hasta la homotopía con el límite inverso homotópico del diagrama $$ X' \to X \leftarrow Y \, . $$ Es decir, los colímites de homotopía conmutan con los cambios de base.
Su afirmación se deduce de la mía si tomamos $X'$ sea un punto y $\alpha \mapsto Y_\alpha$ para ser el diagrama que define la cuña como un pushout.
Según recuerdo, la afirmación puede demostrarse utilizando un argumento de cuasifibración. Otra forma es utilizar categorías de modelos.
Comprobemos un caso especial: supongamos $I$ es la categoría $1 \leftarrow 12 \to 2$ . El argumento se puede dar en tres pasos:
Paso 1: podemos suponer sin pérdida de generalidad que $Y_1 \leftarrow Y_{12} \to Y_2$ es un diagrama de fibraciones de Hurewicz sobre $X$ y que las flechas del diagrama son cofibraciones. En particular, el colímite homotópico de este diagrama coincide con su colímite.
Paso 2: Según un teorema de Arne Strøm, el cambio de base de una cofibración es una cofibración. Esto significa que el diagrama sobre $X'$ de cambios de base $$ Z_{1} \leftarrow Z_{12} \to Z_2 $$ consiste en cofibraciones, y cada mapa a $X'$ es de nuevo un fibrado. De nuevo, el colímite homotópico de este diagrama visualizado coincide con el colímite.
Paso 3: El colímite del diagrama mostrado en el Paso 2 es claramente el cambio de base de el colímite del diagrama mostrado en el Paso 1.
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