Para ver qué pasará en el caso que describes piensa en ese mismo montaje, con uno de los giroscopios quitado.
Si sueltas el giroscopio, éste se asentará en un movimiento de precesión constante, descolgándose gradualmente debido a la fricción distinta de cero en el pivote central. (Compré el modelo concreto de giroscopio que se ve en el vídeo, disfruté mucho jugando con él).
Puedes reponer la energía perdida por la fricción dándole al giroscopio en precesión un pequeño empujón en la dirección de precesión.
Ahora la parte que responde a tu pregunta: si empujas un poco más , haciendo que el giroscopio en precesión gire un poco más rápido que el movimiento natural de precesión, entonces el giroscopio subirá.
Visión general:
La fricción en el pivote central actúa como una leve contrafuerza, impidiendo que el giroscopio precese a la velocidad natural de precesión, lo que hace que el giroscopio se hunda. Por el contrario, si se empuja en la dirección del movimiento de precesión, el giroscopio se eleva.
En la configuración de dos giroscopios, el otro tendrá la misma respuesta al empuje a mayor velocidad que la natural: tenderá a elevarse.
Dado que los dos giroscopios están sobre una varilla rígida la tendencia a subir se trasladará al centro. Así que sí: una balanza mostrará un peso menor.
Por supuesto, esto no proporciona una forma de conseguir elevación de forma gratuita: para empujar necesitas palanca; tus pies tienen que estar firmemente apoyados en el suelo. (Compara empujar un mueble grande: si tus pies no tienen agarre, entonces sólo te empujarás hacia atrás en lugar de mover ese mueble).