Functorialidad del haz cotangente

Question

Recordemos que para cualquier colector $X$ puedo asignar de forma canónica un colector $\mathrm T ^* X$ el espacio total del haz cotangente sobre $X$ . Recordemos también que, a diferencia de la construcción del haz tangente, el mapa $X \mapsto \mathrm T^* X$ no es un endofunctor en la categoría de variedades: mientras que los vectores tangentes empujan hacia delante a lo largo de los mapas suaves, los (co)vectores cotangentes no lo hacen (tampoco retroceden).

No obstante, $X \mapsto \mathrm T^* X$ es functorial para algunas clases restringidas de mapas. Por ejemplo, existe una categoría cuyos objetos son variedades y cuyos morfismos son mapas étale, y la construcción cotangente es (covariantemente) functorial para esta categoría.

Mi pregunta es:

¿Comprenden los mapas étale la mayor clase de morfismos de variedades para los que $\mathrm T^*$ es functorial?

En mi situación particular, tengo una inmersión (suryectiva) $Y \to X$ y puedo construir a mano un mapa (de Poisson) $\mathrm T^* Y \to \mathrm T^*X$ cubriéndolo, porque sé de alguna estructura extra para $Y,X$ . Pero me gustaría saber si hay alguna razón más canónica por la que tenga este mapa.

Answer 1

No conozco una clase mayor de mapeados suaves; y consideré esta cuestión intensamente al co-escribir el libro "Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993" (pdf) .

Véase también 26.11 -- 26.16 en este libro para una determinación de todas las transformaciones naturales $T T^* \to T^*T$ vistos como functores sobre la categoría de $m$ -y difeomorfismos locales (etale mappings), y cuestiones similares.