Esquema afín $X$ $\dim(X)=0$ pero infinitamente muchos puntos

Question

Como dice el título, estoy buscando un esquema afín de dimensión cero, pero con una infinidad de puntos. Al principio tuve dudas de que algo como esto pudiera existir, y todavía no puedo pensar en un ejemplo, pero estoy empezando a pensar que debe haber uno.

Este esquema corresponde a un cero-dimensional anillo de $A$ dimensión de Krull $0$, es decir, el único 'cadenas' de primer ideales en $A$ tiene que ser el primer mismos ideales. Si $k$ es un campo, podía tomar $n$-pliegue $k^n=k\times...\times k$. El primer ideales en $k^n$ son exactamente los de la forma$k\times...\times\langle0\rangle\times...\times k$, $\langle0\rangle$ en cualquier posición. Por lo tanto, en $k^n$ no hay cadenas de primer ideales de longitud mayor que $0$. Pero, por supuesto, sólo tiene un número finito (es decir, $n$) puntos. Es posible realizar esta construcción a lo largo de una infinita producto de copias de $k$?

Tomemos, por ejemplo,$k^\mathbb{N}$, que es una contables producto de copias de $k$. Al principio pensé que esto era sólo $k[[x]]$, pero la estructura de anillo no es el mismo. Wikipedia dice que en un infinito producto existen ideales que no son del tipo $\prod_{n\in\mathbb{N}}I_n$. Un ejemplo es el ideal de la $I$ de los elementos de $k^\mathbb{N}$ con sólo un número finito distinto de cero componentes.

A pesar de tener un infinito conjunto de indexación, productos de ideales de a $k$ que contienen sólo un factor de $\langle 0\rangle$ son todavía prime, así que tenemos una infinidad de puntos en $\operatorname{Spec}(k^\mathbb{N})$. Pero, ¿qué acerca de la dimensión? Existen otras prime ideales, así que no estoy seguro de cómo ir sobre eso. Qué $k^\mathbb{N}$ trabajo en todos, o hay otros - tal vez la más simple - ejemplos? O incluso ninguno?

EDIT: En caso de un infinito producto de anillos de $A_i$, ¿el espectro de $\prod_i A_i$ corresponden a algunos discontinuo de la unión de los esquemas? En mi caso, geométricamente pensamiento: por tomar una copia más de $k$ en el producto, vamos a añadir un nuevo punto a nuestro esquema afín. Por ello, desde mi intuición, la construcción de $k^\mathbb{N}$ como un esquema afín con inf. muchos puntos de dimensión y de $0$ debería estar trabajando.

El resto del ejercicio (Encontrar ejemplos o demostrar que no hay ninguno. Un corto comprobar si lo que escribo es correcta sería muy amable):

1. Un esquema afín $X$ $\dim(X)=1$ y exactamente en un punto.
2. Un esquema afín $X$ $\dim(X)=1$ y exactamente dos puntos.

Como a la 1: Esto no debería ser posible, ya que exactamente en un punto significa que no es sólo un primer ideal, por lo que la dimensión de $X$$0$.

2: $k[[x]]$ debe trabajar aquí, así como cualquier discreta valoración de anillo (no campo).

Gracias por leer este muro de texto y por tu ayuda!

Answer 1

Hay una caracterización completa de los afín esquemas $X=Spec(A)$ de dimensión cero.

En primer lugar, podemos suponer que el anillo de $A$ es reducido (es decir, que su único nilpotent es cero), debido a que $A$ $A_{red}=A/Nil(A)$ han homeomórficos espectros de modo que $dimSpec (A)=dimSpec (A_{red})$.

A continuación, para una reducción de anillo de $A$ y sus asociados afín esquema de $X=Spec(A)$ las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. $X$ tiene dimensión cero
2. Cada localización $A_\mathfrak p \;(\mathfrak p\in X) $ es un campo.
3. $A$ es von Neumann regular, es decir,$\forall a\in A \;\;\exists b\in A$ $a=ba^2$

Es muy fácil de usar que el de von Neumann de la propiedad y por lo tanto a construir muchos ejemplos de afín a los esquemas de dimensión cero.
Por ejemplo, cualquier producto de von Neumann regular de los anillos es von Neumann regular y, obviamente, un campo von Neumann regular y, por tanto, completamente arbitraria producto de los campos de $A= \Pi_{i\in I}k_i$ cero dimensional espectro de $Spec(A)$.
Tenga en cuenta que ya $Spec(k^{\mathbb N})$ es homeomórficos a la Piedra-Čech compactification de $\mathbb N$ y tiene cardinalidad $2^{\mathfrak c}=2^{2^{\aleph_0}}$ pero de dimensión cero.

Editar
Por una feliz coincidencia, nuestro amigo George Lowther nos ha dado un enlace (en un comentario a la pregunta) para su respuesta en MathOverflow, que ilustra muy bien lo anterior ( George da un argumento diferente, el no uso de von Neumann regularidad ).

Él se considera un campo de $k$, un compacto Hausdorff espacio de $T$ y el anillo de $A\subset k^T$ localmente constante de las funciones de $f: T\to k$.
Está claro que $A$ es reducido, y trivial ver que es von Neumann regular:
De hecho, todas las $f\in A$ puede ser escrito $f=g\cdot f^2$ donde definimos $g$ $g(t)=1/f(t)$ si $f(t)\neq0$ y $g(t)=0$ si $f(t)=0$.
La función de $g$ es claramente en $A$ ya que es exactamente como localmente constante como $f$.
Por lo tanto $X=Spec(A)$ siempre es cero-dimensional y $X$ va a ser infinito, tan pronto como $T$ tiene infinitamente muchas de componentes conectados, desde el nivel local constante de las funciones de fuga en un componente conectado a $U$ constituyen un ideal maximal $\mathfrak m_U$.
George sugiere tomar para $T$ el punto de compactification del espacio discreto $\mathbb N$

Segunda Edición
seporhau, en un comentario a continuación, pide a la pregunta interesante: si $A=\Pi_{i\in I}A_i$ $I$ arbitrarias y todos los $A_i$'s de cero-dimensional, podemos concluir que $A$ es cero-dimensional?
La respuesta es sí , si todos los $A_i$'s se reduce, gracias a la equivalencia anterior ya que en el reducido caso de que el $A_i$'s debe ser de von Neumann regular.
Si el $A_i$'s no se reduce, sin embargo, la respuesta puede ser no:

Afirmo que el anillo de $A=\Pi_{n=1}^\infty \mathbb Z/2^n\mathbb Z$ no es cero-dimensional a pesar de todas las $\mathbb Z/2^n\mathbb Z$.
De hecho, el Jacobson radical de $A$ $Jac(A)=\Pi Jac(\mathbb Z/2^n\mathbb Z)=\Pi (2\mathbb Z/2^n\mathbb Z)$ y contiene la secuencia de $(2,2,\cdots)$, mientras que su nilradical no contiene esa secuencia.
Esto demuestra que $A$ no tiene dimensión cero, porque en un cero-dimensional anillo de la Jacobson radical es igual a la nilradical.

Tercera edición
Yo sólo he aprendido en MathOverflow que $dim(\Pi_{n=1}^\infty \mathbb Z/2^n\mathbb Z)= \infty$