Convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx }{n}$ ¿Por qué no podemos utilizar la prueba M?

Question

¿Por qué no podemos utilizar la prueba M para comprobar la convergencia de esta serie? $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx }{n}?$$

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Tenemos $\frac{\lvert \sin nx \rvert}{n}\leq \frac{1}{n}$ por lo que la serie debe ser divergente.

Answer 1

El $M$ -prueba iría exactamente al revés ("cosa $\leq$ convergente $\Rightarrow$ convergente"): hay que acotar el sumando por una cantidad $M_n$ (independiente de $x$ ) tal que $\sum_n M_n$ es absolutamente convergente . (Para concluir la serie de funciones es a su vez uniformemente convergente).

Aquí, usted límite superior por algo que es divergente . Así que la prueba M no le dice nada, no puede concluir nada de esto. ("cosa $\leq$ divergente $\Rightarrow$ nada")

A modo de ejemplo: considere $$ \sum_{n=1}^\infty \underbrace{\frac{\sin n x}{ n^2}}_{f_n(x)} $$ que es una serie de funciones absolutamente convergentes. Pero se puede decir exactamente lo mismo, a saber $\lvert f_n(x)\rvert \leq \frac{1}{n}$ para todos $x\in\mathbb{R} $ ... claramente, ya que no implica la divergencia de $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ .

Answer 2

No conozco la prueba M de Wierstrass, pero por el contrario, he utilizado el teorema de Squeeze.

$-1 \le \sin {nx} \le 1$

$-\frac{1}{n} \le \sin {nx}{n} \le \frac{1}{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{1}{n}=0$

Por lo tanto, por el teorema de squeeze , $\sum _{n=1}^\infty \frac{\sin{nx}}{n}$ también es convergente ya que el límite está definido.