La presencia de un producto interior en un espacio vectorial completo se utiliza de muchas maneras en la teoría de los números, aunque quizás no por el camino más recto: la teoría de los números tradicional no los utiliza tanto como algunas de las ideas más modernas sobre cómo pensar en el tema.
Empecemos por lo básico: en una zona llamada combinatoria algebraica que es un campo propio en cuanto a materiales, pero que se utiliza junto con los métodos del espacio hilbert para demostrar resultados sobre primos en las progresiones aritméticas que es objeto de un teorema moderno muy importante gracias a Terence Tao y Ben Green. Esta escuela de pensamiento trata a los grupos como $\Bbb Z$ o $\Bbb Z/n\Bbb Z$ o espacios vectoriales en campos finitos como objetos básicos, y utiliza cosas como funciones indicadoras de conjuntos como objetos básicos, y realiza análisis armónico en ellos para demostrar desigualdades en los tamaños de cosas como conjuntos de doblaje pequeño, es decir, conjuntos que tienen constantes $k$ tal que
$$|A+A|\le k|A|$$
Un método para ello es observar que $L^2$ funciones son un espacio de hilbert, y utilizar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar los límites del tamaño de los conjuntos. No siempre se utiliza la completitud del espacio, pero este es también un ejemplo más básico.
Otra forma importante en la que se utilizan los métodos es en el estudio de gráficos del expansor que, curiosamente, están relacionados con retículos aritméticos de una manera maravillosa. Aquí se utiliza la topología de Fell sobre representaciones de un grupo, para mostrar ciertos tipos de Grafos de Cayley son expansores si el grupo asociado--en las aplicaciones de teoría de números, normalmente $SL_n(\Bbb Z)$ o $SL_n(\Bbb R)$ --tienen ciertas propiedades algebraicas. En este análisis se utiliza el producto interno en $L^2$ funciones ampliamente. Si no recuerdo mal, Terence Tao estaba pensando en escribir un blog o algo sobre este mismo tema hace algún tiempo, puede que lo haya completado en el ínterin. El hombre que fue pionero en gran parte de este material es Grigory Margulis El genio que estableció el Conjetura de Oppenheim hace algún tiempo.
Sí, es cierto, Espacios de Hilbert de funciones enteras demuestra que tiene profundas conexiones con GRH y $L$ -funciones . Este es uno de los que no estoy tan cualificado para comentar, pero es en el que creo que el análisis funcional puede llamarse con más razón "métodos del espacio de Hilbert" en un contexto que es firmemente de teoría de números, y ciertamente apoya el punto del libro. Este es el que yo diría donde realmente necesito toda la potencia de los espacios de Hilbert para demostrar los resultados, si es que los hay.
En una nota menos seria, el análisis armónico en grupos ha sido un tema de estudio para los teóricos de los números durante algún tiempo. La transformada de Fourier es ampliamente usado en el campo, y es un medio muy popular para descubrir nuevos teoremas en la teoría de números analítica y algebraica.
Ahora bien, con respecto al comentario real de su libro, apostaría que es mucho más exagerado que algunas de las otras áreas en el sentido de que los teóricos de los números generalmente no "necesitan" maquinaria pesada como los espacios duales, la representación de Riesz y las herramientas de nivel superior del análisis funcional, y de hecho, aparte del penúltimo ejemplo, no afirmaría realmente que estaba utilizando "métodos del espacio de Hilbert" a pesar de que esto es técnicamente, literalmente cierto. Esto se debe, por supuesto, a que esa maquinaria no se desarrolló realmente de forma específica en el contexto de los axiomas del espacio de Hilbert, etc.
Espero que esto ayude a aclarar un poco las cosas y le dé algo en qué pensar.
En general, diría que los métodos que pueden llamarse con razón "métodos del espacio de Hilbert" no han desempeñado lo que yo llamaría un papel "fundacional". Sencillamente, no son lo suficientemente omnipresentes en el tema. Tampoco diría que se añadieron más tarde, sino que son importantes cuando se utilizan, pero no son estrictamente esenciales en el sentido en que yo utilizaría esa palabra.
Los espacios Debranges hacer necesitan la maquinaria de Hilbert en mayor medida, y dependen mucho de ella, y son resultados para los que creo que las únicas pruebas conocidas son a través de métodos del espacio de Hilbert (porque ese es su hogar natural).
