¿Existen objetos matemáticos cuya existencia se ha demostrado pero que no pueden describirse con palabras?

Question

Esto podría ser una pregunta muy estúpida, y posiblemente filosófica, pero el intento de aplicar las matemáticas a todo más inspirado en esta pregunta me hizo plantear esta pregunta

1. ¿Existe algún objeto matemático cuya existencia se haya demostrado pero no se puede describir con palabras ?
2. Si la respuesta es afirmativa, ¿son estas cosas en general significativas para el estudio de las matemáticas (es decir, pueden aplicarse para demostrar algunos teoremas o demostrar algunas propiedades adicionales de algunos objetos matemáticos (o incluso una posible aplicación en la vida real)?

El ejemplo más cercano que he encontrado hasta ahora a la pregunta 1 es el Bases de Hamel en $\mathbb{R}^\infty$ que a través del Lemma de Zorn se demuestra que existe, pero no se conoce la forma de construirlo explícitamente. Pero todavía podemos describir algunas de sus propiedades, como

1. Es incontable

2. Es una base de $\mathbb{R}^\infty$

Hay dos razones que me motivan a hacer esta pregunta

1. Todos los objetos matemáticos que he leído hasta ahora, por muy abstractos que sean, pueden ser descritos por alguna frase y enunciados de definición que le siguen, o al menos escritos como una relación entre dos o más objetos matemáticos. Por ejemplo :

En matemáticas, un conjunto no medible es un conjunto al que no se le puede asignar un "tamaño" significativo. La existencia matemática de este tipo de conjuntos se interpreta para arrojar luz sobre las nociones de longitud, área y volumen en la teoría formal de conjuntos.

Por eso me pregunto si existen contraejemplos que ni siquiera puedan describirse con palabras.

2. Dos experiencias vitales cualesquiera no pueden relacionarse entre sí en general mediante algunas relaciones matemáticas. Por ejemplo, en la vida real, "la experiencia de ver el color rojo" suele ser específica para diferentes personas, pero no hay manera de saber en qué se diferencia. Pero la experiencia es vaga y no es un objeto matemático. Por eso me interesa un "análogo" matemático de la experiencia.

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Edición: Después de leer este enlace tal y como sugieren los comentarios y las respuestas (aunque no estoy seguro de haberlo entendido del todo), supongo que una forma de definir "descriptible con palabras" puede ser la siguiente

Considere algunos objetos matemáticos $A$ , $B$ , $C$ etc., no necesariamente contable, que vive en algún objeto matemático $\mathbf{M}$ (Más general que una categoría o un conjunto). Hay relaciones $\phi_\lambda$ donde $\lambda \in G$ ( $G$ es un objeto matemático, no necesariamente contable) que dado algo $m$ en $\mathbf{M}$ se puede decir, por ejemplo:

$$\phi_1(m)\text{ relates m to A, B}$$ $$\phi_x(m)\text{ relates m to A}$$ $$\phi_{\delta}(m)\text{ relates m to {A,B}}$$ $$\phi_{\omega_0}(m)\text{ relates m to $\emptyset$}$$ etc.

donde la relación no genera necesariamente una salida única o un conjunto de salidas ni preserva la estructura para cada objeto matemático, por lo que no es un morfismo en general.

Una relación de identidad puede definirse como sigue (hay muchas relaciones de identidad porque $\mathbf{M}$ no es necesariamente un grupo) :

\begin {Ecuación} \mathbf {id}_0( \cdot ) \text { satisface "tiene la misma propiedad que $\cdot$ "} \end {Ecuación}

Un ejemplo concreto:

$\mathbf{M}$ es el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ con

$\phi_\lambda$ son algunas propiedades de los números complejos, por ejemplo

$$\phi_1(\cdot) \text{ is $\{\cdot \text { tal que } i \cdot -1=0 \} $}$$ $$\phi_2(\cdot) \text{ is $\{\cdot \text { tal que } i \cdot \}$}$$ $$\phi_3(\cdot) \text{ is $ \{a \text { tal que } a^2= \cdot \}$}$$ $$\phi_4(\cdot) \text{ is $\{\cdot \text { tal que } i \cdot \}$}$$

Entonces considera un elemento $z\in \mathbb{C}$

$$\phi_3(z)=\sqrt{z}$$ $$\phi_1(z)=-i$$ $$\phi_2 \circ \phi_1(z)=1$$

etc.

Otro ejemplo:

$\mathbf{M}$ es un conjunto de objetos. Entonces supongamos que

$$\phi_o(\cdot) \text{ $\cdot$ satisfy "is vacuously true for a", where a satisfy the property "for all ..."}$$

Entonces

$$\phi_o(m)=\emptyset\text{ or }\text{"$\left\ { \mathbf {v}_1 \right\ } $ is an orthogonal set for all $\mathbf {v_1} \neq\mathbf {0} $"}$$

Así que mi pregunta 1 se reduce a:

Cualquier ejemplo de al menos un objeto matemático $q$ en $M$ tal que la única relación (definida anteriormente) que existe para ella es la relación de identidad definida anteriormente (es decir, no puede describirse en términos de otros objetos matemáticos, excepto mediante la afirmación "tiene las mismas propiedades que él mismo "), o puesto en términos de matemáticas

$q$ son objetos tales que $$\phi_\lambda(q)=q$$ implica $$\phi_\lambda \text{ is } \mathbf{id_0}$$

Answer 1

Tendrías que ser más preciso sobre lo que quieres decir con "descriptible con palabras". Pero podrías argumentar que algunos números irracionales pueden ser descritos con palabras, como $\pi$ es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Así que si se considera que cada número real es un objeto matemático, nunca podríamos describirlos todos porque el conjunto de cosas que podemos describir en el lenguaje es necesariamente contable, sólo hay un número contable de formas de ensamblar letras en palabras en oraciones. Pero hay un número incontable de números reales. Así que, inevitablemente, la mayoría de ellos nunca podrán ser descritos.

Los reales se pueden describir como un conjunto, pero no se pueden describir todos y cada uno de ellos de forma que se distinga su individualidad. Por cierto, podemos describir todos y cada uno de los elementos de $\mathbb N$ individualmente, porque cada número natural puede ser representado por una única secuencia finita de caracteres en el conjunto $\{0,1,\dots,9\}$ . No se puede decir lo mismo de $\mathbb R$ .

Answer 2

Cualquier cosa que provenga del axioma de la elección realmente. Como el ordenamiento de los reales. ¿Existe una ordenación conocida de los reales?

Answer 3

Podemos hacerlo utilizando la teoría de conjuntos. El número de objetos definibles es contable, pero el número de cosas que existen es incontable. Así que algo existe que no es definible.

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Curiosamente, no se puede expresar la definibilidad en ZFC, en ZFC. Si lo intentas, obtienes la siguiente contradicción: http://mathoverflow.net/a/204794/1682 .

Answer 4

Para dar otro ejemplo del análisis no estándar (es decir, el análisis con infinitesimales):

En el análisis no estándar se extiende el conjunto de los reales de forma similar a como se extiende $\mathbb Q$ a $\mathbb R$ con las secuencias de Cauchy:

1. Se toma el conjunto de todas las secuencias reales.
2. Se define una relación de equivalencia sobre el conjunto de secuencias. Dos secuencias $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ y $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ son equivalentes si $x_n=y_n$ "para casi todos los $n\in\mathbb N$ ".

Para definir el concepto "para casi todo $n\in\mathbb N$ " se utilizan los llamados ultrafiltros, cuya existencia puede demostrarse con el axioma de elección. Hasta ahora no se conoce ninguna prueba construible. Así que se puede demostrar que

• La clase de equivalencia de $(\tfrac 1n)_{n\in\mathbb N}$ será un infinitesimal, es decir, un número positivo no nulo más pequeño que cada $q\in\mathbb Q^{+}$ .
• La clase de equivalencia de $(n)_{n\in\mathbb N}$ será infinitamente grande.

Pero no sabrá, si la clase de equivalencia de la secuencia $(0,1,0,1,0,1,0,1,\ldots)$ representa 0 o 1.

(Nota: Lo que $(0,1,0,1,0,1,0,1,\ldots)$ es, depende del ultrafiltro tomado. Hay algunos, donde esta secuencia representa 0 y otros donde la secuencia representa 1).

Answer 5

Existe un número entero más pequeño que se puede describir en no menos de cien palabras en inglés. Pero cuenta el número de palabras de esa última frase y observa cómo acabo de describirlo con menos palabras.

Asimismo, preguntas si existe un objeto matemático cuya existencia está demostrada pero que no puede describirse con palabras. Ciertamente existe uno: el número de palabras es finito, y lo que se puede describir con ellas es contable (y de hecho es finito dada la esperanza de vida), mientras que las matemáticas no tienen escasez de cosas que no son contables, como se muestra en las otras respuestas. Y, sin embargo, acabas de describirlo con palabras.

Del mismo modo, se podrían describir todos los números reales como eso, en lugar de enumerar los decimales de cada real "uno por uno" hasta la saciedad.

Lo que quiero decir es que hay un bosque detrás de este árbol. Una cuestión filosófica intrigante relacionada con esto es si algo que es indescriptible en la práctica puede ser descrito sucintamente.

En matemáticas, este último problema es más conocido como $P = NP$ . El campo de estudio y aplicación es la complejidad computacional. Piense en el segundo problema de Hilbert, en los teoremas de incompletitud de Gödel, en las máquinas de Turing y en el problema de la parada, o en la prueba de Turing para una IA, pero luego considere el argumento de la habitación china de Searl y pase directamente a consideraciones relacionadas con la filosofía de la mente.