Intersección de una esfera y una superficie

Question

Así que necesito encontrar una intersección de una esfera y una superficie. La ecuación de la esfera es $x^2+y^2+z^2=r^2$ y la superficie es $a(xy+yz+xz)=xyz$ donde $a \gt 0$ .

Ni siquiera estoy seguro de que esto sea posible, he intentado utilizar coordenadas esféricas. Estoy resolviendo un antiguo examen y esta es la parte de una tarea:

Demostrar que los planos tangentes en los puntos de intersección de la superficie anterior con la esfera anterior cortan las partes en los ejes de coordenadas cuya suma es una constante.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Que las superficies se encuentren en el punto $(e, f, g)$ . Entonces la ecuación del plano tangente a la superficie $x^2+y^2+z^2=r^2$ en este punto viene dado por

$2e(x-e)+2f(y-f)+2g(z-g)=0$ . El $x$ , $y$ y $z$ intersección de este plano con los ejes de coordenadas son

$x=\frac{e^2+f^2+g^2}{e}$ , $y=\frac{e^2+f^2+g^2}{f}$ , $z=\frac{e^2+f^2+g^2}{g}$ .

\begin{array} $x+y+z&=&\displaystyle(e^2+f^2+g^2)\big(\frac{1}{e}+\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\big)\\ &=&\displaystyle(e^2+f^2+g^2)\big(\frac{ef+fg+eg}{efg}\big)\\ &=&\displaystyle\frac{r^2}{a}=const. \end{array}

Tenga en cuenta que $(e, f, g)$ se encuentra en ambas superficies.
Intenta encontrar el siguiente plano tangente a la segunda superficie en el punto de intersección como se ha hecho anteriormente para obtener el mismo resultado $\frac{r^2}{a}.$

Nota: Escriba la segunda superficie de la forma $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}$ para que la ecuación del plano requerido en $(e, f, g)$ tiene la forma $\displaystyle\frac{1}{e^2}(x-e)+\frac{1}{f^2}(x-f)+\frac{1}{g^2}(z-e)=0.$