Paseo aleatorio alterno sesgado en una red en 1D

Question

Consideremos un paseo aleatorio sobre una red fija con tamaño de paso 1 en 1 dimensión. En variación al caso básico ampliamente discutido, con una probabilidad p el siguiente paso será en la dirección opuesta al paso anterior. La dirección del primer paso también se elige aleatoriamente con la misma probabilidad p.

En mi opinión el resultado debería ser idéntico al de un paseo aleatorio insesgado independientemente de p, sin embargo los experimentos en Excel parecen sugerir que hay una diferencia (el camino parece más irregular; pero esto podría ser un artefacto del PRNG utilizado). Si realmente hay una diferencia me gustaría saber cómo calcular la distancia esperada desde el origen después de n pasos y tiempos de paso.

Editar: Tenía un error en mi fórmula, ahora p está cambiando el aspecto del gráfico. Con p = 0,5 tienes un paseo aleatorio insesgado, con p = 1 es completamente predecible. Por lo tanto, mi pregunta sobre la distancia recorrida y los tiempos de paso / probabilidades de paso tiene algo de elegibilidad.

Answer 1

El papel Un principio de invariabilidad para una clase de marchas $p$ -corridas sobre $\mathbb Z^d$ (en francés) de Alexis Bienvenüe estudia un $d$ -que contiene el suyo (llamado $1$ -de Gillis) como un caso especial. (Tenga en cuenta que el número entero $p$ en el título del documento no es su parámetro $p$ .) Así, se sabe que el paseo aleatorio es recurrente para cada $p\ne0$ (su $p$ ) y que la posición $X_n$ en el momento $n$ es tal que $\frac{X_n}{\sqrt{n\sigma^2}}$ converge en su distribución a una variable aleatoria normal estándar, con $\sigma^2=\frac{1-p}p$ .