Supuesto del teorema de convergencia de casi supermartingagles

Question

Mi pregunta es sobre la suposición del siguiente resultado, que se debe a Robbins y Siegmund.

Supongamos que $(\varOmega,\mathscr{F},P)$ es un espacio de probabilidad. Sea $(\mathscr{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una filtración en $\mathscr{F}$ . Para cada $n\in\mathbb{N}$ , dejemos que $X_n\colon\varOmega\to\left[0,{+}\infty\right[$ sea una variable aleatoria que es $\mathscr{F}_n$ -medible, y que $Y_n\colon\varOmega\to\left[0,{+}\infty\right[$ sea una variable aleatoria. Supongamos que $\sum_{n\in\mathbb{N}}Y_n<{+}\infty$ $P$ -a.s. y que $$(\forall n\in\mathbb{N})\quad\mathbb{E}\big(X_{n+1}~|~\mathscr{F}_n\big)\leq X_n+Y_n\quad \text{$ P $-a.s.} $$ Entonces $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge casi con seguridad.

La idea principal es definir $$(\forall n\in\mathbb{N})\quad Z_n=X_n-\sum_{k=0}^{n-1}Y_k $$ y demostrar que $(Z_n,\mathscr{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una supermartingala. Esto nos lleva a las siguientes preguntas:

1. ¿Tenemos que asumir que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son integrables? En caso contrario, la expectativa condicional $\mathbb{E}\big(X_{n+1}~|~\mathscr{F}_n\big)$ no tiene sentido.
2. Del mismo modo, ¿tenemos que asumir que $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son integrables de modo que $\mathbb{E}\big(Z_{n}~|~\mathscr{F}_n\big)$ ¿está bien definido? No pude ver cómo se puede inferir de la casi segura sumabilidad de $\sum_{n\in\mathbb{N}}Y_n$ que $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son integrables.

Robbins y Siegmund no mencionaron estos supuestos en su trabajo original, pero me parece que estos supuestos son importantes.

Cualquier ayuda/sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Si $X$ es una variable aleatoria no negativa en $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y $\mathcal{G}$ es un sub $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal{F}$ es posible definir la expectativa condicional $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ cuando $X$ tiene una expectativa infinita:

Recordemos que la existencia de $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ en la situación habitual en la que $\mathbb{E}[|X|]<\infty$ está garantizado por el teorema de Radon-Nikodym. La versión estándar de este teorema supone que las dos medidas en cuestión son $\sigma$ -finito, pero en realidad hay una extensión al caso en que $\nu$ es una medida positiva (pero no necesariamente $\sigma$ -finito), $\mu$ es $\sigma$ -finito, y $\nu\ll\mu$ siempre que se esté dispuesto a permitir que la derivada de Radon-Nikodym tome el valor $\infty$ . Esta extensión suele quedar relegada a los ejercicios de los libros de texto de teoría de la medida (véase esta pregunta para algunas referencias), pero es precisamente lo que se necesita para definir la expectativa condicional en la situación en la que $X$ es no negativo pero tiene una expectativa infinita.

Answer 2

No hay necesidad de asumir que $X_n$ o $Y_n$ es integrable. No es difícil comprobar que si la desigualdad básica se satisface, entonces también lo hace la misma desigualdad con $X_n$ y $Y_n$ sustituir por $\min(X_n,c)$ , $\min(Y_n,c)$ (respectivamente) para cada constante $c>0$ . El argumento de supermartes muestra entonces que $\lim_n\min(X_n,c)$ existe a.s. para cada $c>0$ lo que implica que $\lim_nX_n$ existe, a.s., también.