¿Es el conjunto de polinomios estrictamente positivos un conjunto abierto? En caso de que sea un colector liso.

Question

Dejemos que $I=[-1, 1]$ , $\mathcal{P}^n$ sea el conjunto de polinomios de grado $n$ con dominio $I$ , $\mathcal{P}^n_+(I, \mathbb{R})$ sea el conjunto de polinomios de valor real con dominio $I$ que son estrictamente positivos $$ \forall p\in\mathcal{P}^n_+(I, \mathbb{R}) \ \ p(t) >0 \forall t\in I $$ ¿Es este conjunto abierto con respecto a la topología inducida por el $C^0$ norma, es decir $$ \| p \|_{C^0} = \sup_{t\in I} | p(t) | $$

Intento de prueba: Para demostrar que $\mathcal{P}_+(I, \mathbb{R})$ es abierto con respecto a la topología mencionada intentaré demostrar que todos sus elementos tienen una vecindad contenida en él.

1. Primero definimos una bola como $$ N(p, r) = \left\{q\in\mathcal{P}^n\text{ s.t. } \| p - q \|_{C^0}<r\right\} $$
2. Cualquier pelota es un barrio.
3. Deseamos demostrar que $$ p\in \mathcal{P}_+^n(I, \mathbb{R}) \implies \exists r>0\text{ s.t. } N(p, r) \subset \mathcal{P}^n_+(I, \mathbb{R}) $$ Dejemos que $p\in\mathcal{P}_+^n$ y la pelota $$ N'(p, r) = \left\{p+e\in\mathcal{P}^n\text{ s.t. } \| e \|_{C^0}<r\right\} $$

siempre podemos encontrar un $r>0$ tal que $$ \inf_{t\in I} \left\{ p(t) + e(t)\right\} >0 $$

¿Esta prueba es correcta? Si lo es, entonces como $\mathcal{P}^n$ es un espacio vectorial, entonces $\mathcal{P}_+^n$ es un colector liso.

Answer 1

No has dicho cómo puedes encontrar tal $r$ . Necesitamos usar algo como la compacidad de $I$ .

Para elaborar: Dejemos que $p \in \mathcal{P}^{+}_{n}(I, \mathbb{R})$ . Entonces, como $p(t) > 0$ para todos $t \in I$ vemos que $\delta := \frac12\inf_{t \in I} p(t)$ es positivo (ya que el $\inf$ se alcanza realmente).

Ahora, dado cualquier $q \in \mathcal{P}_{n}$ en el $\delta$ -Vecino de $p$ y $t \in I$ tenemos $$q(t) = q(t) - p(t) + p(t) \geqslant p(t) - |q(t) - p(t)| \geqslant p(t) - \delta > 0.$$

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Obsérvese que la compacidad es necesaria. Por ejemplo, si cambiamos $I$ a $(0, 1)$ entonces no se puede encontrar ninguna vecindad de este tipo alrededor del polinomio $p(t) = t$ .