Existencia de un marco geodésico local

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana de dimensión $n$ con conexión riemanniana $\nabla,$ y que $p \in M.$ Demuestre que existe una vecindad $U \subset M$ de $p$ y $n$ campos vectoriales (suaves) $E_1,...,E_n \in \chi (U),$ ortonormal en cada punto de $U,$ s.t. en $p,$ $\nabla_{E_i}E_j(p)=0.$

Lo que he encontrado hasta ahora ;

Dejemos que $V$ sea una vecindad normal en $p.$ Dejemos que $(W,x(x_1,...,x_n))$ sea un sistema de coordenadas local en $p$ s.t. $x(W) \subset V.$ Dejemos que $\{X_i:=\frac{\partial}{\partial x_i}\}$ sea la base estándar de $T_pM.$ Por Gram-Schmidt, existe una base ortonormal $\{E_i\}$ de $T_pM.$ Consideremos el marco ortonormal $E_i(t),$ transportando en paralelo $\{E_i(0)=E_i\}$ a lo largo de una geodésica $\gamma :I \to M$ a partir de $\gamma(0)=p$ y terminando en $\gamma(1)=q,$ donde $q \in V.$ Esto nos da un marco ortonormal en cada punto de $V.$ Para satisfacer la segunda condición, dejemos que $E_i(t)=\sum_{l}a_{li}X_l$ y $E_j(t)=\sum_{s}b_{sj}(t)X_s.$ Entonces

$$\nabla_{E_i}E_j=\sum_{k}(\sum_{l,s} a_{li}(t)b_{sj}(t)\Gamma^k_{ls}+E_i(b_{kj}))X_k,$$

donde $\Gamma^k_{is}$ son símbolos de Christoffel.

Para tener $\nabla_{E_i}E_j(p)=0,$ debemos tener $\sum_{l,s}a_{li}(0)b_{sj}(0)\Gamma^k_{ls}+E_i(b_{kj})(p)=0$ para cada $k.$

¿Cómo puedo concluir el argumento?

Answer 1

Dejemos que $U=B_r(p)\subset M^n$ sea un barrio normal. Para cada $q\in U$ existe una geodésica normalizada $\gamma_q$ unirse a $p$ con $q$ (geodésica radial). Sea $\{v_1,\ldots,v_n\}$ sea una base ortonormal de $T_pM$ y que $\{V_1,\ldots,V_n\}$ sean sus respectivos transportes paralelos a lo largo de $\gamma_q$ . Para cada $j=1,\ldots,n$ definir el campo $E_j$ por $$E_j(q)=V_j(d(p,q)),$$ donde $d$ es la distancia de Riemann. Se tiene que $E_j$ es un $C^{\infty}$ campo, porque las curvas $\gamma_q$ variar $C^{\infty}$ con $q$ en el sentido de que los EDO de las geodésicas $\gamma_q$ tienen sus coeficientes en función de $C^{\infty}$ en $q$ .

Ahora, considere $\sigma_i(s)$ la geodésica normalizada tal que $\sigma_i(0)=p$ y $$\sigma_i'(0)=v_i=V_i(0)=E_i(p).$$ Uno tiene, $$\nabla_{E_i}E_j(p)=\nabla_{E_i(p)}E_j=\nabla_{\sigma_i'(0)}E_j=\frac{D(E_j\circ\sigma_i)}{ds}(s)\Big|_{s=0}$$ Desde $(E_j\circ\sigma_i)(s)=V_j(d(p,\sigma_i(s)))=V_j(s)$ es un campo paralelo a lo largo de $\gamma_{\sigma_i(s)}=\sigma_i\big|_{[0,s]}$ tenemos que $$\nabla_{E_i}E_j(p)=\frac{D(E_j\circ\sigma_i)}{ds}(s)\Big|_{s=0}=\frac{DV_j}{ds}(0)=0.$$

Answer 2

Dejemos que $(U,\phi)$ sea una vecindad de coordenadas de $p$ y que $g_{ij}$ y $\Gamma_{ij}^{k}$ denotan los tensores de la métrica de Riemann y los símbolos de Christoffel, respectivamente. Si recordamos que $g_{ij}=(E_i,E_j)$ y $\Gamma_{ij}^{k}=\nabla_{E_i}E_j(E_k)$ para todos $1\leq i,j,k\leq n$ (donde $M$ es un suave $n$ -manifold y $E_1,\dots,E_n$ son los marcos de coordenadas en $(U,\phi)$ ), entonces sólo necesitamos tener $g_{ij}=\delta_{ij}$ en $U$ y $\Gamma_{ij}^{k}(p)=0$ .

Tiene razón al elegir un sistema de coordenadas normal en $p$ es decir, elegir una vecindad de coordenadas normal $(U,\phi)$ en $p$ . Recordemos que esto significa elegir una base ortonormal $F_1,\dots,F_n$ del espacio tangente $T_p(M)$ eligiendo una vecindad en forma de estrella del origen en $T_p(M)$ que se mapea difeomórficamente en $U$ bajo el mapeo exponencial $\text{exp}_p:D_p\to M$ (donde $D_p$ es un subconjunto abierto de $T_p(M)$ que contiene $0$ ) y definiendo $\phi=\exp_{p}^{-1}$ en $U$ (aquí identificamos $T_p(M)$ con $\mathbb{R}^n$ por el mapa de isomorfismo lineal $F_i$ en $e_i$ , $1\leq i\leq n$ , donde $e_1,\dots,e_n$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$ ).

En coordenadas normales, las geodésicas son de la forma $y^i=a^it$ donde $a_i$ es una constante para todos los $1\leq i\leq n$ . Si demuestras esto, entonces deberías ser capaz de ver fácilmente que $\Gamma_{ij}^{k}(p)=0$ para todos $1\leq i,j,k\leq n$ observando la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de las geodésicas. También se puede comprobar que $g_{ij}(p)=\delta_{ij}$ para todos $1\leq i,j\leq n$ .

Espero que esto ayude.

Answer 3

Elige un barrio normal $U\subset M$ que contiene $p$ . Sea $\varphi:U\to\mathbb{R}^n$ sea un difeomorfismo y $\mathbb{i}:T_pM\to\mathbb{R}^n$ sea un isomorfismo. Supongamos que $\{e_i\}_{i=1}^n$ es una base ortonormal en $\mathbb{R}^n$ . Entonces $\widetilde E_i:=\mathbb{i}^{-1}(e_i)$ es una base en $T_pM$ . Utilizando el método de Gram-Schmidt, podemos encontrar una base ortonormal $\{F_i\}_{i=1}^n$ en $T_pM$ , de tal manera que $g(F_i,F_j)=\delta_{ij},$ y $F_1=\widetilde E_1$ .

Ahora, para cualquier $q\in U_p:=U\setminus\{p\}$ existe un único $v_q\in T_pM$ , de tal manera que $\exp_p(v_q)=q$ . Sea $\gamma_{p,q}(t) :=\exp_p(tv_q)$ y $\widetilde F_i$ sea el $g$ -vectorial paralelo paralelo a lo largo de $\gamma_{p,q}$ tal que $\widetilde F_i(0)=F_i$ . Sea $E_i(q):=\widetilde F_i(1)$ y $E_i(p):=F_i$ . Entonces, $\{E_i\}_{i=1}^n$ forma una base ortonormal base en cada $q\in U$ . Basta con demostrar que $\nabla_{E_i}E_j(p)=0$ .

Para cualquier $v=\sum_{i=1}^nv_iE_i(p)\in T_pM$ . Considere $\gamma_v(t):=\exp_p(tv)$ , que es una geodésica con $\dot\gamma_v(t)=\sum_{i=1}^nv_iE_i(\gamma_{p,q}(t))$ desde $E_i$ es paralela a lo largo de cada geodésica. Entonces, tenemos $\ddot\gamma_v(t)=0$ para cualquier $t\in[0,1]$ por que $v_i$ es una constante y la continuidad de $\ddot\gamma_v$ en los puntos finales. Entonces, por la ecuación geodésica, tenemos \begin{align*} \sum_{i,j=1}^n\Gamma_{ij}^k(p)v_iv_j= -(\ddot\gamma_v)_k(0)=0,\quad\text{ for any }k\in\{1,\ldots,n\}. \end{align*} Debido a la arbitrariedad de $v\in T_pM$ podemos deducir que $\Gamma_{ij}^k(p)=0$ para cualquier $i,j,k\in\{1,\ldots,n\}$ , lo que se deduce, por la definición de $\Gamma_{ij}^k$ que $g(\nabla_{E_i}E_j(p),E_k(p))=0$ para cualquier $i,j,k\in\{1,\ldots,n\}$ , lo que implica además que $\nabla_{E_i}E_j(p)=0$ para cualquier $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ . $\square$

En su prueba, no es necesario utilizar $\{X_i\}$ de nuevo en el último párrafo, ya que $\{X_i\}$ no dará más información sobre los coeficientes de Christoffel.

Answer 4

Recordemos que el transporte paralelo es una isometría, es decir, si $P=P_{\gamma, t_0, t}: T_{c(t_0)}M\rightarrow T_{c(t)}M$ es un transporte paralelo, entonces

$<u, v>_{c(t_0)} = <P(u), P(v)>_{P(c(t_0))}$

entonces, porque se obtiene ${E_i}$ es ortonormal, $<E_i, E_j> = \delta_{i j}$ es el delta de Kronecker. Por lo tanto, $g_{ij} = <E_i, E_j> = \delta_{i j}$ así $\Gamma_{ij}^k(p) = 0$ .

A continuación, $\nabla_{E_i}E_j(p) = \sum_k \Gamma_{ij}^k(p)E_k(p) = 0$ .