¿Probar el dominio de la desigualdad de dependencia para la ecuación de onda?

Question

Dejemos que $(x_0,t_0)\in R^{n+1}$ con $t_0>0$ y que $\Omega$ sea el dominio cónico en $R^{n+1}$ delimitada por el cono característico hacia atrás con vértice en $(x_0,t_0)$ y por el avión $t=0$ . Supongamos que $u\in C^2(\overline \Omega)$ y se satisface $$\Delta u -u_{tt}-q(x)u=0$$ en $\Omega$ , donde $q(x)>0$ . Derivar la desigualdad del dominio de la dependencia $$\int_{B(x_0,t_0-T)}u_{x_1}^2+...+u_{x_n}^2+u_{t}^2+qu^2|_{t=T}dx\le \int_{B(x_0,t_0)}u_{x_1}^2+...+u_{x_n}^2+u_{t}^2+qu^2|_{t=0}dx$$ donde $0\le T\le t_0$ y $B(x_0,r)$ denota el balón ${x:|x-x_0|<r}$ .

Mi intento:

No tengo ni idea de este problema. ¿Tal vez utilizando el método de la energía? ¿Alguien puede darme algunas pistas o referencias como notas de clase? Muchas gracias.

Answer 1

Como en mi respuesta a su pregunta pregunta Me refiero de nuevo a El libro de Evan , capítulo 2.4, Teorema 6. También utilizo la notación de Evan, por lo que $Du$ para el gradiente de $u$ y $\nu$ el vector normal unitario que apunta hacia el exterior de la frontera respectiva.

Procedemos exactamente igual que en la demostración del teorema y sólo utilizamos el diferente funcional de energía local $$e(t):=\frac12\int_{B(x_0,t_0-t)}u_t^2(x,t)+|Du(x,t)|^2+q(x)u^2(x,t)dx.$$ Como en el libro, mostramos que la energía local no es creciente, lo que significa que $\dot{e}(t)\leq 0$ para todos $0\leq t\leq t_0$ . Así que diferenciamos en función del tiempo y obtenemos $$\dot e(t)=\int_{B(x_0,t_0-t)}u_tu_{tt}+Du\cdot Du_t + q\,uu_t \;dx - \frac12 \int_{\partial B(x_0,t_0-t)}u_t^2+|Du|^2+q\,u^2 dS.$$ Integrando por partes el término de divergencia se obtiene $$\dot e(t)=\int_{B(x_0,t_0-t)}u_t(u_{tt}-\Delta u + q\,u) + \int_{\partial B(x_0,t_0-t)}\frac{\partial u}{\partial \nu}u_t \;dx - \frac12 \int_{\partial B(x_0,t_0-t)}u_t^2+|Du|^2+qu^2 dS.$$ Desde $u$ es una solución de la ecuación de onda, la integral interior desaparece y obtenemos $$\dot e(t)=\int_{\partial B(x_0,t_0-t)}\frac{\partial u}{\partial \nu}u_t - \frac12 \left(u_t^2+|Du|^2+q\,u^2 \right)dS.$$ La derivada normal se puede acotar utilizando las desigualdades de Cauchy-Schwarz y Cauchy (consultar el libro para ello), por lo que obtenemos $$|\frac{\partial u}{\partial \nu}u_t|\leq\frac12 \left(u_t^2+|Du|^2\right),$$ lo que da en total $$\dot e(t)\leq 0$$ y por lo tanto $$e(t)\leq e(0).$$