Verificación de la prueba en la Topología Algebraica de Hatcher, Teorema 3.21

Question

En primer lugar, este es el enlace del libro, para mayor comodidad: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf#page=232

Estaba leyendo la prueba del Teorema 3.21, y tengo algunos problemas para verificar la prueba. La (primera parte de la) prueba resumida es la siguiente:

Teorema 3.21. Si $\Bbb R^n$ tiene una estructura de álgebra de división sobre $\Bbb R$ entonces $n$ debe ser un poder de $2$ .

Prueba. Dado que el mapa de multiplicación $\Bbb R^n \times \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ es bilineal, es continua, e induce un mapa $h : \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1} \to \Bbb RP^{n-1}$ que es un homeomorfismo cuando se restringe a cada subespacio $\Bbb RP^{n-1} \times \{y \}$ y $\{x \} \times \Bbb RP^{n-1}$ . Consideremos el homomorfismo de anillo inducido $$h^* : H^*(\Bbb RP^{n-1} ;\Bbb Z_2) \cong \Bbb Z_2[\alpha]/(\alpha^n) \to H^*(\Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1};\Bbb Z_2 ) \cong \Bbb Z_2[\alpha_1,\alpha_2]/(\alpha_1^n,\alpha_2^n) ,$$ donde $$H^*(\Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1};\Bbb Z_2 ) \cong \Bbb Z_2[\alpha_1,\alpha_2]/(\alpha_1^n,\alpha_2^n)$$ se mantiene por la fórmula de Kunneth.

Dejar $h^*(\alpha)=k_1 \alpha_1+ k_2 \alpha_2$ la inclusión $\Bbb RP^{n-1} \to \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1}$ en el primer factor envía $\alpha_1$ a $\alpha$ y $\alpha_2$ a $0$ como se ve al componer con las proyecciones de $\Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1}$ en sus dos factores. Entonces el hecho de que $h$ restringe a un homeomorfismo en el primer factor implica $k_1$ es distinto de cero.

He entendido el primer párrafo, pero no puedo entender en absoluto el segundo. ¿Por qué la inclusión envía $\alpha_1$ a $\alpha$ y $\alpha_2$ a $0$ ? Además, ¿cómo sigue la siguiente frase? Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $X,Y$ sean espacios no vacíos conectados por caminos, $\alpha \in H^p(X;k), \beta \in H^q(Y;k)$ para algún campo $k$ .

Entonces se obtienen clases de cohomología $\alpha \otimes 1 \in H^p(X;k)\otimes H^0(Y;k) \subset H^p(X\times Y;k)$ y $1\otimes \beta \in H^0(X;k)\otimes H^q(Y;k) \subset H^q(X\times Y;k)$ .

Afirmo que la inclusión $i:X\to X\times Y$ en cualquier punto base de $Y$ envía $\alpha\otimes 1$ a $\alpha$ y $1\otimes \beta$ a $0$ . Si aplica esto en su situación particular con $X=Y= \mathbb RP^{n-1}$ , $\alpha_1$ y $\alpha_2$ se obtiene el resultado deseado.

Para demostrar la afirmación, se puede utilizar la proyección $p:X\times Y \to X$ y observe que $p\circ i = id_X$ de modo que cuando se mira la cohomología.., $i^*\circ p^* = id$ en la cohomología. En particular, $i^*(\alpha\otimes 1) = i^*(p^*(\alpha)) = \alpha$ . Aquí, he utilizado $p^*\alpha = \alpha\otimes 1$ pero esto es esencialmente parte del teorema de Künneth.

Del mismo modo, podemos utilizar la proyección $q: X\times Y\to Y$ y observe que $q\circ i$ es un mapa constante, por lo que induce $0$ en la cohomología. De ello se desprende que $0= i^*(q^*(\beta)) = i^*(1\otimes \beta)$ utilizando $q^*\beta = 1\otimes \beta$ que, de nuevo, es esencialmente parte del teorema de Künneth.

Esto resuelve la cuestión de "por qué la inclusión actúa así en $\alpha_1, \alpha_2$ ?"

Entonces, para la segunda pregunta (cómo sigue la siguiente frase), considere entonces $i^*h^*\alpha = i^*(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 ) = k_1i^*\alpha_1 + k_2i^*\alpha_2 = k_1\alpha$ por el cálculo anterior, y $h\circ i$ es un homeomorfismo (por lo dicho anteriormente).

Por lo tanto, $i^*h^* = (h\circ i)^*$ es un isomorfismo en la cohomología, y como $\alpha\neq 0$ Debe ser que $i^*h^*\alpha \neq 0$ es decir $k_1\neq 0$ .

Answer 2

Estamos mirando el mapa $f : \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \to \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \{y\} \subseteq \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}$ . Para entender lo que este mapa hace a la cohomología, basta con ver la homología (ya que la cohomología es dual). Así que tenemos

$$f_* : H_\bullet(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2) \to H_\bullet(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2)$$

y toma una clase $\omega \in H_\bullet(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1})$ a $\omega \times \{y\}$ . En particular, $f_*$ toma el dual de $\alpha$ al dual de $\alpha_1$ donde el dual de $\alpha$ es cualquier hiperplano $L \cong \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-2} \subset \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}$ y el dual de $\alpha_1$ es $L \times \{y\}$ . Esto demuestra que $f^*(\alpha_1) = \alpha$ y $f^*(\alpha_2) = 0$ desde $f_*$ no asigna nada al dual de $\alpha_2$ .

Para entenderlo todo, entendamos el mapa $$f^* : H^i(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2) \to H^i(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2)).$$ Esto toma un homomorfismo $\phi : H_i(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2) \to \mathbb{Z}_2$ al mapa $f^*\phi : H_i(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2) \to \mathbb{Z}_2$ donde

$$f^*\phi(\omega) = \phi(\omega \times \{y\}).$$

Ahora apliquemos esto a los generadores de $H^*(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} \times \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}, \mathbb{Z}_2)$ . Si fijamos un hiperplano $L \subset \mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}$ , entonces podemos tomar $\alpha$ para ser el homomorfismo que mapea $L \mapsto 1$ . Asimismo, $\alpha_1 : L \times \{y\} \to 1$ y $\alpha_2 : \{x\} \times L \mapsto 1$ . En realidad podemos describir $\alpha_1, \alpha_2$ mejor. Si $\omega_1 \times \omega_2 \in H_{n-2}$ , lo que significa $\dim \omega_1 + \dim \omega_2 = n - 2$ entonces

$$\alpha_1(\omega_1 \times \omega_2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \dim \omega_2 = 0 \text{, i.e. } \omega_1 \times \omega_2 \simeq L \times \{y\}, \\ 0 & \text{if } \dim \omega_2 > 0. \end{cases}$$ Esto se debe a que las células $\omega_1 \times \omega_2$ con $\dim \omega_2 = 0, 1, 2,\dots,n-2$ para una base de $H_{n-2}$ y $\alpha_1$ es la base dual (por lo que debe tomar los otros elementos de la base para $0$ ). Igualmente, $\alpha_2$ es el elemento de base dual de $\dim \omega_1 = 0$ es decir, a $\{x\} \times L$ .

Por último, podemos calcular $f^*\alpha_1(L) = \alpha_1(L \times \{y\}) = 1$ . Así, $f^*\alpha_1 = \alpha$ porque $\alpha$ es exactamente el mapa que toma $L$ a $1$ . Por otro lado, $f^*\alpha_2(L) = \alpha_2(L \times \{y\}) = 0$ por el párrafo anterior. Así, $f^*\alpha_2 = 0$ .

Answer 3

Breve apunte: en mi opinión, Hatcher es una fuente excelente para los ejemplos, y una fuente excelente para la intuición sobre algunas cosas. De hecho, me gustan mucho los capítulos 2 y 3 precisamente por estas razones. Dicho esto, nunca me ha parecido una referencia útil para las pruebas. Puede ser fructífero, cuando se consideran los tecnicismos de cosas como las anteriores, buscar en otras fuentes, aunque sólo sea para obtener otra opinión.

De todos modos, creo que la cuestión es que la inclusión es en el primero factor.

Queremos ver cuál es el mapa en cohomología que es inducido por la inclusión $$i:\Bbb RP^{n-1} \hookrightarrow \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1}$$ (sobre el primer factor). En particular, para $$i^*:H^*(\Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1};\Bbb Z_2 ) \rightarrow H^*(\Bbb RP^{n-1} ;\Bbb Z_2),$$ $$((\alpha_1,\alpha_2)) \mapsto k \alpha,$$ deseamos encontrar $k$ .

Para ello, observamos la composición con la proyección (fuera del primer factor)

$$p_1: \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1} \rightarrow \Bbb RP^{n-1}$$

y la proyección (del segundo factor)

$$p_2: \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1} \rightarrow \Bbb RP^{n-1}$$

Tenemos trivialmente que la composición $p_1 \circ i: \Bbb RP^{n-1} \rightarrow \Bbb RP^{n-1}$ es la identidad $1_{\Bbb RP^{n-1}}$ de modo que el mapa inducido en cohomología de esta composición es la identidad: $(p_1 \circ i)^* = 1_{H^*(\Bbb RP^{n-1} ;\Bbb Z_2)}$ .

Sin embargo, la composición de la inclusión en el primer factor con la proyección fuera del segundo factor $p_2 \circ i$ es el mapa constante en el punto base. Es decir, induce el mapa trivial en cohomología.

De lo anterior, creo que la afirmación de Hatcher se deduce inmediatamente.

A continuación, utilizamos eso ya que $h$ es un homeomorfismo cuando se restringe al primer factor (es decir, restriega a un homeomorfismo cuando se precompone con la inclusión $i:\Bbb RP^{n-1} \hookrightarrow \Bbb RP^{n-1} \times \Bbb RP^{n-1}$ ), el mapa inducido en la cohomología no puede ser idéntico a cero. Dado que $k_2$ es cero, por lo que $k_1$ no puede ser.