Prueba de que los elementos regulares del álgebra de Heyting forman un álgebra de Boole

Question

Sea H un álgebra de Heyting con la operación de unión v. Es un hecho bien conocido que los elementos regulares de H forman un álgebra booleana si v se redefine como (a, b) -> (a V b)** Sin embargo, no encuentro esto claramente demostrado en ningún sitio. Estoy atascado porque no veo por qué, para p, q en H,(no necesariamente regulares) (p ^ q)** = p** ^ q**. Creo que, si puedo demostrar ese punto, puedo demostrar todo el resultado. Muchas gracias por tu ayuda.

Paul Epstein

Answer 1

Abordaré la cuestión específica de cómo mostrar $\lnot\lnot(a\land b) = \lnot\lnot a\land \lnot\lnot b$ en un álgebra de Heyting.

Desde $\lnot$ es de orden inverso, $\lnot\lnot$ es la preservación del orden. Así que $\lnot\lnot (a\land b) \leq \lnot\lnot a$ y $\lnot\lnot(a\land b) \leq \lnot\lnot b$ . Por lo tanto: $$\lnot\lnot (a\land b) \leq \lnot\lnot a \land \lnot\lnot b.$$

En la otra dirección, para mostrar $\lnot\lnot a \land \lnot\lnot b \leq \lnot\lnot(a\land b)$ basta con mostrar: $$\lnot \lnot a \land \lnot \lnot b \land \lnot(a\land b)\leq \bot.$$

Tenga en cuenta en primer lugar que $\lnot(a\land b) \land (a \land b) = \bot$ Así que $\lnot(a\land b) \land a \leq \lnot b$ Así que $\lnot(a\land b) \leq a \rightarrow \lnot b$ .

Tenga en cuenta también que $x \land (x\rightarrow y) \land (y\rightarrow z) = x\land y \land (y\rightarrow z) = x \land y \land z \leq z$ Así que $(x\rightarrow y)\land (y\rightarrow z) \leq x\rightarrow z$ .

Ahora: \begin{align*} \lnot \lnot a \land \lnot \lnot b \land \lnot(a\land b) &\leq \lnot\lnot a \land \lnot \lnot b \land (a \rightarrow \lnot b)\\ & = \lnot\lnot a \land (a\rightarrow \lnot b) \land (\lnot b \rightarrow \bot)\\ &\leq ((a\rightarrow \bot) \rightarrow \bot) \land (a\rightarrow \bot)\\ &\leq \bot, \end{align*} como se desee.

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En cuanto a la cuestión más general de cómo demostrar que los elementos regulares de un álgebra de Heyting forman un álgebra de Boole: aprendí este hecho por primera vez en el libro de Johnstone Espacios de piedra , donde aparece (con una prueba) como Proposición 1.13 en la p. 10.