Encontrar la forma vectorial de la solución general Ax = 0

Question

Supongamos que $x_1 = -1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 4$ , $x_4 = -3$ es una solución de un sistema lineal no homogéneo $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ y que el conjunto de soluciones del sistema homogéneo $A\mathbf{x} =\mathbf{0}$ viene dada por las fórmulas: $$\begin{align*} x_1 &= -3r + 4s,\\ x_2 &= r - s,\\ x_3 &= r,\\ x_4 &= s. \end{align*}$$ Encuentra la forma vectorial de las soluciones generales de Ax = 0 y Ax = b

Terminé con algo así:

( -3 4)
( 1 -1)
( 1 0)
( 0 1) 

donde separé el $r$ y $s$ valores, no he tratado de resolver realmente sin embargo porque estoy un poco confundido acerca de lo que se supone que debo hacer con esto.

Answer 1

La respuesta de las soluciones a $A\vec{x}=0$ siendo igual a la extensión de $\begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ y $ \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ es correcta; ahora encontremos las soluciones de $A\vec{x}=\vec{b}$ . Si el núcleo de una matriz no es igual sólo al vector cero (como en nuestro caso, en realidad tiene una dimensión de dos), entonces la matriz es no invertible, y tiene infinitas soluciones para $\vec{b}$ . Por la propiedad de las transformaciones lineales, si $A\vec{x}=0$ entonces $A(\vec{p}+\vec{x})=\vec{b}$ (donde $\vec{p}$ es un vector tal que $A\vec{p}=\vec{b}$ ) porque $A(\vec{p}+\vec{x})=A\vec{p}+A\vec{x}=A\vec{p}+\vec{0}=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}$ . Puesto que usted sabe que $ \begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 4\\ -3 \end{bmatrix}$ es una solución a $A\vec{x}=\vec{b}$ el conjunto de soluciones de esta ecuación estará formado por $\vec{p}$ +cualquier solución a $A\vec{x}=0$ , que encontró el lapso de $\begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ y $ \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ . O, en otras palabras, el conjunto de $\left \{\vec{p}+\vec{x}| A\vec{x}=0 \right \}$ es un conjunto de soluciones de $A\vec{x}=\vec{b}$ . O, representadas numéricamente, las soluciones a $A\vec{x}=\vec{b}$ son de la forma $ \underset{\text{A given solution to } A\vec{x}=\vec{b}}{\underbrace{\begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 4\\ -3 \end{bmatrix}}}$ $+$ $\underset{\text{span of Kernel } A} {\underbrace{r\begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}}}$ como ha señalado Arturo.

Answer 2

Estás cerca, pero no lo estás escribiendo bien.

En primer lugar, veamos la solución del sistema homogéneo. Escribiendo $r$ y $s$ explícitamente en toda la ecuación, obtenemos: $$ \begin{align*} x_1 & = -3r + 4s\ x_2 & = 1r -1 s\ x_3 & = 1r + 0s\ x_4 &= 0r + 1s. \end{align*} Para escribirlo como una suma de vectores, los vectores deben tener cuatro coordenadas; son columna vectores, no vectores de fila: $$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\\0\end{array}\right)r + \left(\begin{array} {r}4\\-1\\0\\1\end{array}\right)s.$$ Así que ya ves, los vectores van hacia abajo, no a través.

Ahora, la solución particular que tienes se puede escribir de forma análoga: $$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-1\\2\\4\\-3\end{array}\right).$$

Las soluciones del sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ son entonces iguales a la solución particular más la solución general del sistema homogéneo. Así que juntando todo, se obtiene: $$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-1\\2\\4\\-3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\\0\end{array}\right)r + \left(\begin{array}{r}4\\-1\\0\\1\end{array}\right)s.$$

Answer 3

La clave es encontrar una única solución a la no-homogénea, lo que puede hacerse por eliminación gaussiana si tal solución existe. La solución general es entonces esta solución más cualquier combinación lineal de soluciones de la ecuación homogénea.