¿Dónde debo colocar el notorio '+c'?

Question

Considera la siguiente prueba -

$$I=\int \sin (\ln x)dx\\\iff I=\sin(\ln x)x-\int\frac{ \cos (\ln x) }{x}\cdot {x} dx \\\iff I=x\sin (\ln x)-\int\cos(\ln x)dx\\\iff I=x\sin(\ln x )-[x\cos(\ln x)+\int \sin(\ln x)dx]\\\iff I=x(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))-I\\\iff2I=x(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))\\ \iff I=\frac{x(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}{2}$$

Ahora bien, está claro que esto es ligeramente erróneo, ya que me he saltado '+c'. Mi pregunta es ¿en qué paso debo escribir el '+c'?

Answer 1

En el momento en que se hace una integración por partes, se debe añadir una constante $c_1$ a la ecuación, pero has repetido la integración por partes para obtener otra constante $c_2$ que obtiene absorbido por el anterior $c_1$ . Y cuando finalmente resuelvas la integral requerida, tendrás las constantes apiladas en un lado que luego son iguales a alguna nueva constante $c$ . Pero para evitar el molesto $c_1$ y $c_2$ a lo largo del camino, puedes añadir la constante hasta el final aquí.

Answer 2

Cuando tienes $I=\int\text{something }\mathrm dx$ y entonces tienes $I=blabla+\int\text{the same something }\mathrm dx$ entonces esos dos valores de la integral no son necesariamente los mismos, ya que pueden diferir por la constante, por lo que al transformar la nueva integral en $I$ deberías convertirlo en $I+C$

$$I=x(\sin\ln x-\cos\ln x)-(I+C)$$ $$I+(I+C)=x(\sin\ln x-\cos\ln x)$$ $$2I+C=x(\sin\ln x-\cos\ln x)$$ $$I+C=\frac{x(\sin\ln x-\cos\ln x)}2$$ $$I=\frac{x(\sin\ln x-\cos\ln x)}2+C$$