Polinomios de Chebyshev y traza de $A \in SL_2(\mathbb{C})$

Question

Definición de $C_n(z) = \frac{z^m + z^{-m}}{2}$ los polinomios de Chebyshev están definidos por

$$T_n(C_1(z)) = C_n(z)$$ y vienen dadas por $T_1(z) = z, T_2(z) = 2z^2-1, T_3(z) = 4z^3-3z$ etc. Ya que para $z=e^{i\theta}$ tenemos $C_1(z) = \cos\theta$ también satisfacen

$$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$$

generalizando así la identidad trigonométrica del doble ángulo.

Las notas que estoy leyendo también afirman $$T_n(\text{tr } A/2) = \text{tr } (A^n/2)$$ para $A \in SL_2(\mathbb{C})$ . ¿Por qué se sigue esto?

Intento: si $A= \begin{pmatrix} a&b \\ c &d \end{pmatrix}$ entonces elegir $z=\frac12(\sqrt{(a+d)^2-4}- (a+d))$ implica $C_1(z) = \text{tr }A/2$ pero luego $T_n(C_1(z)) = \frac{z^n+z^{-n}}{2}$ no simplifica, por lo que veo, a $\text{tr} A^n/2$ .

Answer 1

He encontrado varias fuentes con una prueba, por ejemplo, el documento de Francis Bonahon , Lemma $8$ en la página $9$ utilizando a Cayley-Hamilton. Otra referencia interesante es el documento de Traina sobre los polinomios de traza para $SL_2(\Bbb{C})$ .