¡Qué detalle el de incluir la química en su curso de ecuaciones diferenciales! Apreciamos su esfuerzo, especialmente el de hacer un esfuerzo adicional para que sea realista.
Espero que hayas visto el página de la ecuación de tarifas en Wikipedia ya que contiene buena parte de las matemáticas en varios ejemplos de reacciones. También debería interesarle el página de pedidos de reacción (aquí puedes encontrar ejemplos de reacciones con orden fraccionario o negativo respecto a algunos reactivos).
Permítanme hacer una rápida recapitulación de la teoría básica de la cinética química. Consideremos la ecuación general de reacción:
$$\ce{a\ A + b\ B + c\ C + d\ D + ... \longrightarrow w\ W + x\ X + y\ Y + z\ Z + ...}$$
donde las letras mayúsculas indican las diferentes moléculas de un gas o solución, y las minúsculas indican los coeficientes estequiométricos (negativos para los reactivos, positivos para los productos). Ingenuamente, podemos suponer que la reacción se produce porque, mientras las moléculas se agitan, en algún momento todos los reactivos ( $a$ moléculas de $\ce{A}$ , $b$ moléculas de $\ce{B}$ , $c$ moléculas de $\ce{C}$ etc.) chocarán entre sí al mismo tiempo y sufrirán una reacción. Si pensamos en las colisiones como eventos independientes con una probabilidad de ocurrir proporcional a la concentración de cada especie, entonces no es muy difícil entender que la frecuencia con la que ocurren las reacciones es proporcional a $[A]^a[B]^b[C]^c[D]^d...$ , por lo que la ecuación de velocidad para la reacción sería:
$$r=k[A]^a[B]^b[C]^c[D]^d...$$
, donde r es la velocidad de reacción y k es una constante de proporcionalidad. La tasa de consumo o producción de cualquier especie $\Gamma$ con coeficiente estequiométrico $\gamma$ se relaciona trivialmente con la velocidad de reacción mediante:
$$\frac{d\Gamma}{dt}=\gamma r$$
Sin embargo, experimentalmente las cosas no son tan sencillas (por suerte para la naturaleza, por desgracia para nuestras mentes). Una reacción que requiera la colisión simultánea de muchas moléculas sería altamente improbable, lo que significa que ocurriría muy, muy lentamente. Aun así, experimentalmente observamos muchas reacciones que implican una gran cantidad de moléculas. Por ejemplo, la combustión del ciclohexano en el aire viene dada formalmente por la ecuación
$$\ce{C6H12 + 9 O2 → 6CO2 + 6 H2O}$$
Si la reacción realmente requiriera que diez moléculas chocaran entre sí al mismo tiempo con la energía suficiente y en la geometría adecuada, entonces esta reacción probablemente no podría ocurrir en el aire, ya que el oxígeno estaría demasiado enrarecido para compensar la extremadamente baja constante de proporcionalidad k para una reacción de un solo paso. En realidad, una mezcla gaseosa de ciclohexano y aire puede reaccionar tan rápido como para provocar una explosión, convirtiendo todos los reactivos en productos en una minúscula fracción de segundo. Está claro que algo va mal.
Resulta que la suposición de que las reacciones se producen en un solo paso es incorrecta en general. Normalmente hay más de un paso, y de hecho suele haber más de un camino desde los reactivos hasta los productos. La velocidad a la que se produce una reacción se describe realmente considerando todos los caminos a la vez, con todos sus pasos, y sumando sus contribuciones (como un punto inicial y final en un diagrama de árbol complejo). En general, esto es bastante difícil e innecesariamente complejo. A menudo es una aproximación razonable modelar la reacción seleccionando sólo los La ruta más rápida de los reactivos a los productos, y la velocidad de reacción se ve limitada por la paso más lento de la ruta más rápida, que se convierte en la responsable de determinar la ecuación de la tasa.
Ahora bien, dado que la velocidad de reacción depende de la selección de la ruta más rápida, no hay que esperar que ninguno de los pasos de la misma contenga algún cuello de botella muy grande, como por ejemplo que se requiera que seis moléculas reaccionen simultáneamente; es probable que haya una ruta ligeramente diferente, quizá con más pasos, pero en la que cada paso no implique tantas moléculas interactuando a la vez, siendo por tanto una ruta más rápida. Por ello, resulta que la mayoría de las rutas de reacción más rápidas implican pasos más lentos que muy raramente dependen de más de dos moléculas a la vez. Por tanto, la mayoría de las reacciones que pueden modelarse de forma sencilla tienen ecuaciones de velocidad del tipo $r=k[A]$ , $r=k[A]^2$ , $r=k[A][B]$ o incluso $r=k$ . Pocas reacciones son de tercer orden, del tipo $r=k[A]^3$ , $r=k[A]^2[B]$ , $r=k[A][B][C]$ o similar. No conozco ninguna reacción que vaya como $r=k[A]^3$ específicamente. Las tasas de reacción de cuarto orden son tan raras que son las enfoque de la investigación cuando se encuentra . No espero que nadie conozca una reacción de quinto orden.
A fin de cuentas, la teoría cinética es lo suficientemente difícil como para que la cinética de las reacciones acabe siendo determinada simplemente por el ajuste de parámetros a partir de los experimentos. Incluso si el mecanismo de reacción subyacente no se entiende completamente, si un ajuste del tipo $r=k[A]^{3/2}[B]^{-1}$ resulta ser bueno, entonces que así sea. Las reacciones que se han estudiado en profundidad son bastante más complejas, como la simplicidad engañosa de la reacción entre el hidrógeno y el bromo .
Edición: ¡No sé por qué no busqué una tasa de reacción de quinto orden! Resulta que existen algunas, como este . La velocidad de reacción es del tipo $r=k[A][B]^4$ , por lo que podría tener un ejemplo en el que $\frac{d[B]}{dt}=k[B]^4$ .
