Notación de la distribución de probabilidad condicional

Question

He estado leyendo un texto que contiene una introducción a la teoría de la probabilidad, y me encontré con la siguiente fórmula para las distribuciones de probabilidad condicional. Tenga en cuenta que $Pr(x)$ aquí no se trata de la probabilidad de un evento, sino de la FDP de una variable aleatoria $x$ .

$$\operatorname{Pr}(x\mid y=y^*)=\frac{\operatorname{Pr}(x,y=y^*)}{\int\operatorname{Pr}(x,y=y^*)dx}=\frac{\operatorname{Pr}(x,y=y^*)}{\operatorname{Pr}(y=y^*)}\tag{2.3},$$

La ecuación en sí tiene un sentido simple para mí. Sólo estamos normalizando la PDF conjunta de $x$ y $y$ donde $y = y^*$ . Sin embargo, la notación me parece un poco impar: estoy interpretando el numerador de la segunda expresión como $\operatorname{Pr}(x, y) |_{y=y^*}$ . ¿Sería eso correcto?

Si es así, la segunda parte también es sencilla. Sólo estamos marginando el denominador para obtener una expresión más sencilla. El denominador se puede expresar entonces como $\operatorname{Pr}(y)|_{y=y^*}$ , sólo la probabilidad de que $y=y^*$ . Sin embargo, mi confusión llega cuando se simplifica la notación:

$$\operatorname{Pr}(x\mid y)=\frac{\operatorname{Pr}(x,y)}{\operatorname{Pr}(y)}.\tag{2.4}$$

La notación simplificada queda bien, pero ya hemos definido $\operatorname{Pr}(x, y)$ y $\operatorname{Pr}(y)$ ¡! En este sentido, estamos dividiendo una PDF conjunta por una PDF de una sola variable, que no ha sido definida, por lo que veo. Creo que debo asumir implícitamente $y=y^*$ aquí, pero eso me parece terriblemente arbitrario. Especialmente parece poco intuitivo suponer diferentes variables cuando intervienen más variables, como en el Teorema de Bayes:

$$\begin{align} \operatorname{Pr}(y\mid x) & = \frac{\operatorname{Pr}(x\mid y)\operatorname{Pr}(y)}{\operatorname{Pr}(x)}\\ & = \frac{\operatorname{Pr}(x\mid y)\operatorname{Pr}(y)}{\int\operatorname{Pr}(x,y)\,dy}\\ & = \frac{\operatorname{Pr}(x\mid y)\operatorname{Pr}(y)}{\int\operatorname{Pr}(x\mid y)\operatorname{Pr}(y)\,dy},\tag{2.9} \end{align}$$

En tal circunstancia, ¿se supone que debo ver tal fórmula, asociar $\operatorname{Pr}(x)$ con el $\operatorname{Pr}(y\mid x)$ en el otro lado, entonces suponga $\operatorname{Pr}(x)$ no es la propia distribución general sino $\operatorname{Pr}(x)$ en algunos $x=x^*$ ? Esta sintaxis parece bastante imprecisa y parece implicar muchas conjeturas, ¿lo estoy interpretando correctamente?

Answer 1

¿No es curioso lo que una buena noche de sueño puede hacer con una intuición defectuosa?

Respondiendo a la cuestión de dividir una PDF conjunta entre una PDF de una sola variable, ambas son simplemente escalares, por lo que podemos dividirlas puntualmente como cualquier otra función. La ecuación 2.3 es cierta en cualquier valor $y=y^*$ por lo que al desvincular el valor de $y$ y permitiendo que varíe, lo probamos para toda la distribución.

Como tal, no es un problema de anotación. Ambos lados de la ecuación 2.4 son exactamente igual.