Si el círculo $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ corta los tres círculos $x^2+y^25=0$ , $x^2+y^28x6y+10=0$ y $x^2+y^24x+2y2=0$ en los extremos de sus diámetros, entonces cuál de las siguientes afirmaciones es cierta ?
$c=-5$
$fg=147/25$
$g+2f=c+2$
$4f=3g$
No se me ocurre un método sencillo. ¡Ayuda, por favor!
El centro de $x^2+y^2−5=0, x^2+y^2−8x−6y+10=0$ y $x^2+y^2−4x+2y−2=0$ es $(0,0), (4,3)$ y $(2,-1)$ respectivamente.
Así que, $$(x^2+y^2+2gx+2fy+c)-(x^2+y^2-5)=0$$ $$(x^2+y^2+2gx+2fy+c)-(x^2+y^2−8x−6y+10)=0$$ $$(x^2+y^2+2gx+2fy+c)-(x^2+y^2−4x+2y−2)=0$$ pasa a través de $(0,0), (4,3)$ y $(2,-1)$ respectivamente.
(Por ejemplo, $(x^2+y^2+2gx+2fy+c)-(x^2+y^2-5)=0$ representa una línea que pasa por los puntos de intersección de los dos círculos).
Por lo tanto, obtenemos $$c=-5$$ $$c+6 f+8 g+40 = 0$$ $$c-2 f+4 g+12 = 0$$ Al resolver el sistema se obtiene $f=-21/10, g=-14/5$ .
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