El problema:
Recordemos que vimos que cuando $\mu$ es una medida de probabilidad sobre $X$ y $f$ es integrable con respecto a $\mu$ entonces $$ \exp\left(\int_X f(x)d\mu(x)\right) \leq \int_X e^{f(x)}d\mu(x).$$ ¿Qué se puede concluir si tenemos igualdad?
Sé que la solución son las funciones que son constantes en $X$ para todo excepto un conjunto de medida 0, pero no estoy muy seguro de cómo demostrar esto. Hasta ahora lo que he hecho es demostrar que una función constante sobre un conjunto de medida 1 en $X$ da la igualdad, pero no he podido encontrar una forma de mostrar una función con al menos dos valores distintos en subconjuntos de $X$ de medida positiva no puede dar la igualdad. A saber:
Si tenemos alguna función integrable (con respecto a $\mu$ ) que es constante en todo excepto en un conjunto de medida 0, digamos $f(x) = c$ para todos $x\in Y\subset X$ con $\mu(Y) = 1$ entonces el lado izquierdo es \begin {align*} \exp\left ( \int_X f(x)d \mu (x) \right ) &= \exp\left (c \int_X d \mu (x) \right ) \newline &= \exp\left (c \int_Y d \mu (x) \right ) \newline &= \exp (c \mu (Y)) \newline &= e^c. \end {align*} El lado derecho es \begin {align*} \int_X e^{f(x)}d \mu (x) &= \int_X e^c d \mu (x) \newline &= e^c \int_X d \mu (x) \newline &= e^c \int_Y d \mu (x) \newline &= e^c \mu (Y) \newline &= e^c, \end {align*} y así tenemos $$ \exp\left(\int_X f(x)d\mu(x)\right) = \int_X e^{f(x)}d\mu(x).$$ Estos son los únicos posibles $f$ para que se produzca la igualdad. Para ver esto, supongamos $f$ no eran constantes (en todos menos en un conjunto de medida 0). Empecemos por el caso más sencillo, es decir, supongamos $X = N\cup Y\cup Z$ con $N,Y$ y $Z$ disjuntos entre sí, $\mu(Y) > 0 < \mu(Z)$ y $\mu(N) = 0$ tal que $f(y) = a$ para todos $y\in Y$ y $f(z) = b$ para todos $z\in Z$ con $a\neq b$ .
Entonces el lado izquierdo es \begin {align*} \exp\left ( \int_X f(x)d \mu (x) \right ) &= \exp\left ( \int_Y a d \mu (x) + \int_Z b d \mu (x) \right ) \newline &= \exp\left (a \int_Y d \mu (x) + b \int_Z d \mu (x) \right ) \newline &= \exp (a \mu (Y) + b \mu (Z)). \end {align*} mientras que el lado derecho es \begin {align*} \int_X e^{f(x)}d \mu (x) &= \int_Y e^a d \mu (x) + \int_Z e^b d \mu (x) \newline &= e^a \int_Y d \mu (x) + e^b \int_Z d \mu (x) \newline &= e^a \mu (Y) + e^b \mu (Z). \end {align*}
Entonces... No estoy seguro de cómo mostrar $a\neq b$ implica $$ \exp(a\mu(Y) + b\mu(Z)) < e^a \mu(Y) + e^b \mu(Z).$$
Supongo que es algo sencillo que se me escapa, pero no veo muy bien cómo proceder.
Edición: Supongo que puedo añadir algunos de los chanchullos que he hecho.
Sabemos que $$\mu(Z) = 1 - \mu(Y),$$ por lo que la igualdad original se puede escribir como $$ \exp(a\mu(Y) + b(1-\mu(Y))) \leq e^a \mu(Y) + e^b (1-\mu(Y))$$ lo que significa $$ \exp((a-b)\mu(Y) + b) \leq (e^a - e^b)\mu(Y) + e^b.$$ Por lo tanto, como $$ \exp((a-b)\mu(Y) + b) = \exp((a-b)\mu(Y))e^b,$$ tenemos $$ \exp((a-b)\mu(Y)) \leq (e^{a-b} - 1)\mu(Y) + 1.$$
Edita un poco más:
Supongo que se podría considerar esta última desigualdad como una función de $a-b$ . Para hacer las cosas más ordenadas, sólo una función de $\exp(a-b)$ Así pues, dejemos que $x = \exp(a-b)$ . Entonces tenemos $$ x^{\mu(Y)} \leq (x - 1)\mu(Y) + 1.$$ Ahora sabemos si $a = b$ (es decir, $x = 1$ ) tenemos la igualdad, por lo que podemos calcular la derivada de ambos lados. La derivada del lado izquierdo es $$ \mu(Y)x^{\mu(Y) - 1},$$ mientras que la derivada del lado derecho es simplemente $\mu(Y)$ . Por lo tanto, como $x$ aumenta las funciones no puede ser nunca más igual.
Creo que esto funciona, aunque me sentaré a pensarlo un poco más (y su generalización a todas las funciones no constantes en $X$ )
