El número de formas de cambiar 85 dólares con billetes de 1,5,10 y 20 dólares debe ser el coeficiente de $x^{85}$ en $(1+x+x^2+\ldots+x^{85})(1+x^5+\ldots+x^{85})(1+x^{10}+\ldots+x^{80})(1+x^{20}+\ldots+x^{80})$ Es decir, $\frac{(1-x^{81})^2}{(1-x)(1-x^5)}\cdot\frac{(1-x^{86})^2}{(1-x^{10})(1-x^{20})}$ Sin embargo, si queremos cambiar 90 dólares por billetes de 5, 10, 20 y 50, podemos decir que es el coeficiente de $x^{90}$ en $\frac{1}{(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{20})(1-x^{50})}$ . ¿Por qué podemos "eliminar" todo en el numerador en ese caso?
Respuesta
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Alan Abraham
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Lo primero, tu fórmula para las sumas geométricas finitas es incorrecta. Debería ser $$1+x^a+x^{2a}+x^{3a}+x^{4a}+\ldots +x^{na}=\frac{x^{(n+1)a}-1}{x-1}$$
Así que lo que realmente debería tener es que en el $85$ caso, es el coeficiente de $x^{85}$ en $$\frac{(1-x^{86})(1-x^{90})(1-x^{90})(1-x^{100})}{(1-x)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{20})}$$
La razón por la que se pueden omitir todos los términos del numerador (aparte de $1$ ) es de considerar la expansión de $(1-x^{86})(1-x^{90})(1-x^{90})(1-x^{100})$ . Esto contendrá, por supuesto, el término $1$ . El resto de los términos, sin embargo, serán poderes de $x$ que son mayores que $x^{85}$ . Cuando se multiplica con la expansión en serie del denominador, ninguno de estos otros términos afectará al coeficiente de $x^{85}$ porque ya son más grandes que $x^{85}$ .
Otra razón para ver esto es de un razonamiento similar. Mientras se intenta calcular el coeficiente de $x^{85}$ en el polinomio finito $$(1+x+x^2+\ldots+x^{85})(1+x^5+\ldots+x^{85})(1+x^{10}+\ldots+x^{80})(1+x^{20}+\ldots+x^{80})$$ ¿Cuál es la diferencia entre el coeficiente de $x^{85}$ en el polinomio original y $$(1+x+x^2+\ldots+x^{85}+x^{86})(1+x^5+\ldots+x^{85})(1+x^{10}+\ldots+x^{80})(1+x^{20}+\ldots+x^{80})$$ Verás que no hay ninguna, y podemos seguir añadiendo potencias superiores a $x^{85}$ porque no afectan al coeficiente de $x^{85}$ en la expansión. Por lo tanto, esto es exactamente lo mismo que calcular el coeficiente de $x^{85}$ en la expansión de $$1+x+x^2+\ldots)(1+x^5+\ldots)(1+x^{10}+\ldots)(1+x^{20}+\ldots)$$ $$=\frac{1}{(1-x)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{20})}$$
