Supongamos que $\mathbb D$ sea el disco abierto unitario y $f\in H(\mathbb D)$ y que $u=\operatorname{Re}(f)$ , $v=\operatorname{Im}(f)$ . Entonces necesito demostrar que si $|u|+|v|=1$ en cada punto de $\mathbb D$ entonces $f$ es constante.
Estaba intentando aplicar el Teorema de Rouche, pero no soy capaz de conseguirlo.
Se agradecerá cualquier tipo de ayuda. Gracias de antemano
Si no fuera constante, por el teorema del mapa abierto $f(\mathbb{D})$ sería un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb C$ . Pero, como $|u|+|v|=1$ , $$f(\mathbb{D})\subset\{x+yi\in\mathbb{C}\,|\,x,y\in\mathbb{R}\wedge|x|+|y|=1\},$$ que no contiene ningún conjunto abierto no vacío (es el cuadrado cuyos vértices son $\pm1$ y $\pm i$ ).
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