La correspondencia ordinaria de McKay relaciona los subgrupos de SU(2) con los diagramas afines de ADE Dynkin. La correspondencia consiste en que los vértices corresponden a representaciones irreducibles del subgrupo, y las aristas corresponden al producto tensorial con la representación bidimensional (que viene dada por la inclusión de G en SU(2)).
La correspondencia cuántica de McKay hace lo mismo para los "subgrupos cuánticos" del grupo cuántico U_q(su(2)) para q una raíz de la unidad y los diagramas de Dynkin ordinarios de ADE. Una forma de precisar esto es que los "subgrupos cuánticos" son categorías de módulos sobre categorías semisimplificadas de módulos para U_q(su(2)), de modo que los objetos simples en la categoría de módulos son los vértices, y las aristas provienen del producto tensorial con el rep definidor de U_q(su(2)). En este lenguaje el resultado se debe a Kirillov-Ostrik pero se remonta más atrás tanto en la literatura de subfactores (debido a Ocneanu y otros) como en la de teoría de campos conformes (que no conozco tan bien). Estos subgrupos cuánticos son de dos tipos, de tipo 1 y de tipo 2, y los de tipo 1 también pueden realizarse como categorías de fusión en las que la estructura de módulo proviene de "restringir y tensor". El A_n, el D_2n, el E_6 y el E_8 son de tipo 1.
Bien, ahora la pregunta, ¿tiene el E_8 "subgrupo cuántico de su(2)" algo que ver con el álgebra de Lie E_8?
Creo que la respuesta debería ser "no". La razón principal por la que supongo esto es que aunque las categorías de fusión D_2n están relacionadas con ciertos grupos cuánticos SO bajo la dualidad de rango de nivel, la categoría de fusión dual de rango de nivel es no relacionado con el grupo cuántico para el álgebra de Lie D_2n está en cambio relacionado con el álgebra de Lie D_n-1 ( véase la sección 4.3 de mi documento con Scott y Emily y sus referencias).
La razón por la que pregunto es en referencia a La pregunta de Borcherds sobre la detección de E_8 experimentalmente. No entiendo del todo la respuesta de Will Orrick pero me parece que dice que han detectado el subgrupo cuántico E_8 , no el álgebra de Lie E_8. En particular, es el subgrupo cuántico E_8 el que tiene 8 objetos ("tipos de partículas" en el lenguaje de la física), uno de los cuales (en el extremo más alejado) tiene la dimensión de la proporción áurea (y por lo tanto la proporción áurea debería aparecer al compararlo con el objeto trivial en algún experimento).
