Referencias para el cálculo de anillos de cohomología

Question

Estoy luchando por calcular los anillos de homología.

Incluso para un espacio simple como la esfera, es fácil calcular la cohomología, pero me parece mucho más difícil encontrar la estructura del anillo. ( Este da la respuesta para la 2-esfera, y la generalización a la $n$ -esfera es clara)

He intentado echar un vistazo a Hatcher's notas al respecto (concretamente los ejemplos 3.7-3.9 en las páginas 207-209). En concreto, en el libro de Hatcher, afirma que $\varphi_1 \cup \psi_1 = 0$ en todos los 2-simples, excepto en el que tiene borde exterior, $b_1$ que es donde me perdí.

Intenté echar un vistazo a la esfera, que tiene una cohomología muy sencilla, así que supuse que el producto de copa debería ser fácil de calcular. Sé que los dos únicos grupos de homología no nulos son $H^0(S^1,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}$ y $H^n(S^n,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, dejemos que 1 sea el generador de $H^0$ y $x$ el generador de $H^n$ (¿se dice 1 en el $H^0$ caso, ya que es la unidad del anillo). Entonces tenemos los productos de la copa $1 \smile 1$ , $1 \smile x$ , $x \smile 1$ , $x \smile x$ . Puedo adivinar que $1 \smile 1 = 1$ pero, ¿qué pasa con los demás? ¿Cómo se calcula esto en general? Obviamente hay algo sencillo que se me escapa.

¿Hay algún otro libro que tenga buenos ejemplos sobre el cálculo de anillos de cohmología?

Answer 1

Quizás al menos muestre cómo funciona el anillo de cohomología para la esfera, basándome en lo anterior. Lo dejaré como wiki de la comunidad, para que se pueda arreglar si algo no es del todo correcto. Si resuelvo otros espacios, intentaré explicarlos aquí también.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que sabemos que sólo hay dos grupos de cohomología distintos de cero $H^0(S^n,\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$ y $H^n(S^n,\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$ . El elemento de grado 0 debe ser la unidad del anillo (observando que el producto taza con $H^0$ es un mapa $H^k(X;\mathbb{Z}) \otimes H^0(X;\mathbb{Z}) \to H^k(X;\mathbb{Z})$ ). Por lo tanto, etiquetamos el generador de $H^0$ como 1 y $H^n$ como $x$ . Las relaciones que se satisfacen son, por tanto, las siguientes $1 \smile 1 = 1, 1 \smile x = x, x \smile 1 = x, x \smile x = 0$ (ya que terminamos en grado $H^{2n}=0$ ). Sabemos que $$H^*(X;\mathbb{Z}) = \bigoplus_{p \ge 0} H^p(X;\mathbb{Z})$$ y así tenemos que $$H^*(X;\mathbb{Z}) \simeq \alpha_1 \cdot 1 \oplus \alpha_2 \cdot x, \quad \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{Z}$$ con las relaciones anteriores. Esto es abstractamente isomorfo al anillo polinómico $\mathbb{Z}[x]/(x^2)$ , donde $x$ es el generador de $H^n(S^n,\mathbb{Z})$

Un cálculo similar muestra que el anillo de cohomología para $H^*(\mathbb{R} P^2, \mathbb{Z})$ es $\mathbb{Z}[x]/(2x,x^2)$ donde $x$ es un generador de $H^2(\mathbb{R} P^2,\mathbb{Z})$