Sistema cíclico de ecuaciones

Question

Considerar el sistema de ecuaciones $$\begin{align*} x^2+(1-y)^2&=a\\ y^2+(1-z)^2&=b\\ z^2+(1-x)^2&=c\\ \end{align*} $$ cálculo $x(1-x)$ $a,b,c$.

Edición: La pregunta debe decir

Calcular todos los posibles valores de $x(1-x)$ $a,b,c$

Answer 1

Deje $a,b,c$$5/2,5/4,1/4.$, Entonces hay dos soluciones del sistema, dando diferentes valores de $x(1-x)$, de modo que uno no puede, en general, determinan a partir de las ecuaciones. Las dos soluciones son $(x,y,z)=(3/2,1/2,0)$$(x,y,z)=(1/2,-1/2,0).$, a Continuación, tenga en cuenta que $x(1-x)$ $-3/4$ por la primera solución, pero es $+1/4$ para la segunda solución.

Quizás el OP ha omitido algunas condiciones, tal vez, que las variables y/o constantes $a,b,c$ son enteros. Sin embargo, como afirmó el problema no tiene una solución para arbitrario $a,b,c$ conseguir $x(1-x)$ en términos de ellos.

Añadido: Restringir $a,b,c$ a ser números enteros no es suficiente para permitir el cálculo de $x(1-x)$ a partir de las ecuaciones y los valores de $a,b,c$. Dado enteros $m,n$ cada una de las opciones $$(x,y,z)=(m,\ n+1,\ m+1),\\ (x,y,z)=(-m,\ n+1,\ -m+1)\tag{*}$$ conduce a los mismos valores de $a,b,c$ es decir $$(a,b,c)=(m^2+n^2,\ m^2+(n+1)^2,\ 2m^2+2).$$ Pero la primera solución de $(*)$ da $x(1-x)=m(1-m)=m-m^2,$, mientras que la segunda solución la da $x(1-x)=-m(1+m)=-m-m^2$, lo que difiere de la primera (para cualquier $m \neq 0$).

Answer 2

Su pregunta es, "Dado el sistema,

$$x^2+(1-y)^2 = a\tag1$$

$$y^2+(1-z)^2 =b\tag2$$

$$z^2+(1-x)^2 =c\tag3$$

calcular todos los posibles valores de $x(1-x)$ en términos de $a,b,c$."

Respuesta: En general, hay ocho posibles valores de $x(1-x)$.

Prueba: Se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas $x,y,z$, por lo tanto usted puede resolver este a una ecuación con una incógnita. Eliminar $y$ $(1)$ $(2)$ (fácil de hacer con Mathematica Resultante de[] de la función), a continuación, eliminar la $z$ entre eso y $(3)$, y se obtiene el octic en $x$,

$$\small \prod \big(c-\big(b-t+(x-1)^2\color{red}+2\sqrt{t}\pm2\sqrt{b-t-1\color{red}+2\sqrt{t}}\big)\big) \\ \small\big(c-\big(b-t+(x-1)^2\color{red}-2\sqrt{t}\pm2\sqrt{b-t-1\color{red}-2\sqrt{t}}\big)\big)\tag4$$

donde $t=a-x^2$. La expansión de $(4)$, los cuatro signo cambios que se traducirá en un octic en $x$ con coeficientes en $a,b,c$. Ya no es necesario que sea en los radicales, entonces siempre se puede resolver numéricamente para $x$ cualquier $a,b,c$ y, en general, se encuentran ocho de los valores de $x(1-x)$.