Demostrando que $\sup\{t\leq1:W_t=1\}$ no es un tiempo de parada

Question

Estoy considerando el último tiempo de golpeo $\tau=\sup\{t\leq1:W_t=1\}$ (tomando el supremum del conjunto vacío como cero), y queremos demostrar que no es un tiempo de parada.

Mi estrategia consiste en demostrar que $\mathbb{E}(W_\tau)\neq\mathbb{E}(W_0)=0$ y concluir que por el teorema de la parada opcional y que $\{W_t\}$ es una martingala, $\tau$ no logra ser un tiempo de parada, pero:

1. ¿Cómo puedo calcular $\mathbb{E}(W_\tau)$ y

2. ¿Es este un argumento suficiente, o podría haber otras posibles razones por las que las dos expectativas son desiguales?

Answer 1

Para ampliar el comentario de @GEdgar, he aquí un ejemplo concreto de un momento $t$ tal que $\{\tau \le t\} \not \in \mathcal F_t$ .

Ya que estamos tomando $\sup (\emptyset)= 0$ El evento $\{\tau \le 0\} = \{W_t < 1 \text{ for all }t \in [0,1]\}$ . Está claro que no esperamos $\{W_t < 1 \text{ for all }t \in [0,1]\}$ para ser $\mathcal F_0$ medible, y podemos demostrarlo porque $\mathcal F_0$ es un trivial $\sigma$ -(en el sentido de que todos los eventos tienen una probabilidad $0$ o $1$ ), pero $\mathbb{P}(\{W_t < 1 \text{ for all }t \in [0,1]\}) \not \in \{0,1\}$ . Puede encontrar $\mathbb{P}(\{W_t < 1 \text{ for all }t \in [0,1]\})$ explícitamente en términos de la FCD normal si quieres, o simplemente toma mi palabra de que es estrictamente entre $0$ y $1$ .

Para responder a su pregunta, sí, mostrando $\mathbb{E}[W_\tau] \ne \mathbb{E}[W_0]$ mostraría $\tau$ no es un tiempo de parada. Vale la pena mencionar que sólo funciona porque $\tau$ es acotado: se pueden tener tiempos de parada no acotados $\sigma$ tal que $\mathbb{E}[W_\sigma] \ne \mathbb{E}[W_0]$ .