Afectará al lanzamiento, pero no a la forma en que funciona en el juego. En el juego, frenar en el aire detiene la rotación del eje de cabeceo. En la vida real, hace algo completamente diferente.
Las ruedas tienen momento angular. Cuando las ruedas se frenan, este momento angular debe conservarse. Esto da lugar a una transferencia de momento angular de la rueda al vehículo.
Dado que las ruedas se mueven en el sentido de las agujas del reloj en relación con un vehículo que se desplaza de izquierda a derecha (es decir, la parte superior de la rueda se desplaza hacia la parte delantera del coche, y la parte inferior de la rueda se desplaza hacia la parte trasera), el coche también comenzará a girar en el sentido de las agujas del reloj, inclinando el morro hacia abajo. En el caso de un coche que ya empieza a inclinarse hacia abajo después de un salto, esto hará que se incline hacia abajo aún más rápido, el frente a de lo que hace en el juego.
Incluso podemos calcular una magnitud aproximada del efecto.
Para simplificar, vamos a exponer algunos supuestos:
- se trata de un vehículo de tracción trasera con las ruedas delanteras paradas
- las dos ruedas traseras se mueven a la misma velocidad angular (sin diferencial de deslizamiento)
- ambas ruedas traseras son del mismo tamaño y tienen la misma masa
- el eje trasero es un cilindro rígido equilibrado (es decir, su centro de masa es el centro del eje)
- los frenos hacen que las ruedas se detengan por completo
- ignoramos el movimiento del eje de transmisión, el volante, el embrague, la caja de cambios y otras partes de la transmisión
- ignoramos la resistencia del aire, la sustentación y el resto de la aerodinámica
Cada una de las dos ruedas traseras puede aproximarse como una masa cilíndrica cuyo centro de masa es la articulación del eje. Lo mismo puede decirse del eje de transmisión trasero: es un cilindro largo. Como tal, el momento de cada uno de estos cuerpos puede ser descrito por girar momento angular, que es el momento angular alrededor del centro de masa. Esto contrasta con orbital momento angular, que es el momento angular alrededor de un punto arbitrario.
El momento angular se expresa como $L=I\omega$ , donde $I$ es el momento angular de inercia y $\omega$ es la velocidad angular en radianes por segundo. El momento angular de inercia es una forma de describir la distribución de la masa de un objeto en torno a su eje (o ejes) de rotación. Un cubo, un cilindro y una esfera tienen diferentes momentos de inercia, y esos momentos también cambian dependiendo de dónde pongas el eje de rotación (por el centro, en una arista, etc.)
Un cilindro con masa $m$ y el radio $r$ girando sobre su $z$ tiene un momento angular de inercia descrito por $I = \frac 1 2 mr^2$ .
![Diagram of a cylinder with the axes and radius marked]()
Así, el momento de inercia de cada rueda puede aproximarse mediante $I = \frac 1 2 mr^2$ , donde $m$ es la masa de la rueda y $r$ es el radio de la rueda. El momento de inercia del eje puede describirse de forma similar, ya que también podemos modelarlo como un cilindro.
Dado que tenemos dos ruedas girando alrededor del mismo eje, podemos pensar en ellas como un cilindro combinado del mismo radio pero con el doble de masa, lo que anula la $\frac 1 2$ término. A continuación, podemos añadir el momento de inercia del eje para obtener el momento de inercia total:
$$I_T = m_W {r_W}^2 + \frac 1 2 m_A {r_A}^2$$
(con $T$ lo que significa el total, $W$ que significa ruedas, y $A$ que significa eje)
Esto se puede introducir en la ecuación del momento angular, $L=I\omega$ , donde $\omega$ es la velocidad angular en radianes por segundo.
$$L = \omega \left(m_W {r_W}^2 + \frac 1 2 m_A {r_A}^2\right)$$
Si suponemos que las ruedas del vehículo han permanecido a una velocidad angular constante desde que abandonó el suelo, podemos estimar $\omega$ a partir de la velocidad terrestre del vehículo en el momento del despegue y del radio de la rueda, incluido el neumático.
Una revolución de la rueda hace avanzar el vehículo en la circunferencia de esa rueda, y la circunferencia es $2\pi r$ . Si tomamos la velocidad del coche en metros por segundo (1mph 0,447m/s) y la dividimos por la circunferencia de la rueda, eso nos dice cuántas veces giraba la rueda por segundo. Una rotación es de 360°, o sea $2\pi$ radianes. Como tal:
$$\omega \approx \frac {v_C} {2\pi {r_W}} \times 2\pi = \frac {v_C} {r_W}$$
Donde $v_C$ es la velocidad del coche en el punto de despegue, y $r_W$ es el radio de la rueda.
Sustituyendo esto en nuestra ecuación anterior, obtenemos:
$$L = \frac {v_C} {r_W} \left(m_W {r_W}^2 + \frac 1 2 m_A {r_A}^2\right)$$
Donde $L$ es el momento angular, $v_C$ es la velocidad del coche en el momento del despegue (a efectos de la estimación de la velocidad angular), $r_W$ es el radio de las ruedas traseras incluyendo el neumático, $m_W$ es la masa de cada una de las dos ruedas traseras incluyendo el neumático, $m_A$ es la masa del eje trasero, y $r_A$ es el radio del eje trasero.
Para simplificar este ejemplo, supondremos que las ruedas delanteras no giran, aunque en la práctica tendría sentido que las ruedas delanteras giraran a la misma velocidad angular que las traseras. Aunque es totalmente posible calcular la velocidad angular resultante del coche como resultado de las ruedas delanteras y traseras, incluyendo el caso en el que las ruedas delanteras no están orientadas hacia delante, los cálculos son mucho más fáciles de seguir en un sistema con momento angular que se transfiere entre dos cuerpos en un solo eje.
Intentemos un caso de prueba rápido:
- Cada rueda pesa 25 kg, incluido el neumático.
- Las ruedas traseras tienen un radio de 25 cm (aproximándose a una aleación de 16" de diámetro con neumáticos de 2" de grosor).
- El eje trasero tiene 6 cm de diámetro y pesa 50 kg.
- El coche viajaba a 40 m/s (aproximadamente 90 mph) cuando abandonó el suelo.
Introduciendo estos números, obtenemos:
$$L = \frac {40~\mathrm{m~s}^{-1}} {0.25~\mathrm{m}} \left(25~\mathrm{kg} \times (0.25~\mathrm{m})^2 + \frac 1 2 50~\mathrm{kg} \times (0.06~\mathrm{m})^2\right) = 265.4~\mathrm{kg}\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}$$
Tenga en cuenta que kgm 2 s 1 son las unidades del momento.
Todo esto está muy bien, pero ¿qué significa esto en términos de movimiento del coche?
Como el momento angular debe conservarse, el cambio de momento en las ruedas se transmite a la carrocería del coche. Las ecuaciones que hemos utilizado anteriormente pueden utilizarse a la inversa: podemos empezar con el momento angular y un momento de inercia y utilizarlo para encontrar la velocidad angular resultante.
Sin embargo, hay un pequeño problema: el momento angular no se aplica en el centro de masa del coche, sino en la ubicación del eje trasero. Esto significa que el movimiento del coche se describe por el momento angular orbital, no por el momento angular de giro. El coche tampoco es un cilindro, por lo que necesitamos una ecuación diferente.
Para simplificar las cosas, imaginemos que el coche es un cubo de masa uniforme con el eje real pasando por una de las aristas inferiores:
![Cuboid with side lengths a,b,c rotating about the c edge]()
El momento de inercia de dicho cubo se describe mediante:
$$I = \frac {m(a^2 + b^2)} {12}$$
donde $m$ es la masa, $a$ es el lado de la longitud a en metros, y $b$ es el lado de la longitud b en metros.
Ahora podemos derivar la ecuación para estimar el momento angular del coche, utilizando $L=I\omega$ :
$$L_C \approx \omega \times \frac {m_C(l^2 + h^2)} {12}$$
donde $L_C$ es el momento angular del coche, $\omega$ es la velocidad angular del coche, $m_C$ es la masa del coche, y $l$ y $h$ son la longitud y la altura del coche, respectivamente, en metros.
La ecuación anterior se escribe en términos de $L_C$ por lo que para encontrar la velocidad angular resultante del coche tenemos que reordenarla en términos de $\omega$ :
$$\omega \approx \frac {L_C} {\left(\frac {m_C(l^2 + h^2)} {12}\right)} = \frac {12L_C} {m_C(l^2 + h^2)}$$
Continuemos con nuestro caso de prueba definiendo los últimos parámetros:
- El coche mide aproximadamente 1,25 m de alto y 4,75 m de largo.
- El coche pesa 1600 kg.
Después de restar la masa de las ruedas y el eje trasero, son 1500 kg . (edición: gracias a nitsua60 por señalar que, dado que las ruedas y el eje se mueven como parte del coche, su masa cuenta como parte del momento de inercia global y no debe restarse)
Como sabemos que el momento angular que se transfiere de las ruedas y el eje al coche es de 265,4 kgm 2 s -1 Ahora podemos enchufar todo:
$$\omega \approx \frac {12 \times 265.4~\mathrm{kg}\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}} {1600~\mathrm{kg} \times (4.75^2 + 1.25^2)~\mathrm{m}^2} = 0.0825~\mathrm{rad/s}$$
Esto equivale a 4,73°/s de rotación del morro hacia abajo - ¡pequeño, pero bastante notable!
Las aproximaciones aquí son burdas, pero dan una buena idea de cómo la conservación del momento angular resulta en el cabeceo hacia abajo cuando los frenos frenan las ruedas que giran.
Es es Es posible calcular el comportamiento del sistema de forma más precisa teniendo en cuenta el momento de inercia tridimensional en torno al eje trasero, la transferencia de momento angular del volante y la transmisión (el coche tenderá a inclinarse ligeramente hacia un lado cuando la transmisión disminuya su velocidad), la distribución no uniforme de la masa del coche, la resistencia del aire, la sustentación y otros efectos aerodinámicos, pero los cálculos son bastante más complicados y están fuera del alcance de esta respuesta.
Como punto final, si se expresa la conservación del momento angular entre dos objetos ( $a$ y $b$ ) como una única ecuación, se puede intuir el comportamiento de los objetos en función de su masa, tamaño y velocidad.
$$I_a\omega_a = I_b\omega_b$$
Si reordenamos para $\omega_b$ podemos ver cómo un cambio en la velocidad angular en el objeto $a$ afecta a la velocidad angular del objeto $b$ :
$$\omega_b = \frac {I_a} {I_b} \omega_a$$
Cuando se transfiere el momento angular, el cambio de velocidad angular en el objeto $b$ es una función del relación entre los dos momentos angulares de inercia. Dado que el momento de inercia de un objeto es proporcional a su masa y tamaño, un objeto más pequeño y ligero imparte menos velocidad angular a un objeto más grande y pesado.
