Integración de la función log-normal

Question

Calcula $$F(t)=\int_0^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma t} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\log t-\mu}{\sigma}\right)^2\right]\,dt; t>0$$

Mi intento:

$u=\frac{1}{t}\Rightarrow du=-\frac{1}{t^2}dt$

y

$$dv=\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\log t-\mu}{\sigma}\right)^2\right] \, dt\Rightarrow v=\text{ ?}$$

Fórmula de integración por partes : $$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$

Answer 1

En el mejor de los casos, es algo poco lícito utilizar la misma carta como argumento para $F$ y la variable ligada de integración, así que lo escribiré como $$F(t)=\int_0^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\log s-\mu}{\sigma}\right)^2\right]\,\frac{ds} s; \qquad t>0$$ Dejemos que $u=\log s$ para que $du=\dfrac{ds}s$ Entonces $$F(t) = \int_{-\infty}^{\log t} \frac 1 {\sqrt{2\pi} \, \sigma} \exp\left[ -\frac 1 2 \left(\frac{u-\mu} \sigma \right)^2 \right] \, du.$$ Esto es $\Phi(\log t)$ , donde $\Phi$ es una función que carece notoriamente de una expresión de forma cerrada, pero sus valores están tabulados en un apéndice de la mayoría de los libros de texto de estadística elemental. Se tiene $$\Phi'(t) = \varphi(t) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}.$$ La gráfica de la derivada $\varphi$ es la célebre "curva en forma de campana".