Es cierto que la gravedad de Einstein no es renormalizable por conteo de potencias. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que esto no es una prueba rigurosa, es solo una estimación. De hecho, hasta la fecha no hay una prueba definitiva que demuestre de una vez por todas que la gravedad realmente no es renormalizable. Si pensamos en términos de diagramas de Feynman (que son una pesadilla para la gravedad de Einstein), puede haber cancelaciones no triviales ocultas dentro de la suma de grafos que controlen las divergencias. También podría ser que los posibles términos de contrafase estén relacionados por alguna simetría no obvia, de modo que al final solo sea necesario un número finito de redefiniciones de campos para deshacerse de las divergencias, o dicho de otra manera, que una implementación sensata de la renormalización sea posible. De hecho, la pregunta sobre la finitud UV está siendo abordada actualmente por Zvi Bern y sus amigos, quienes podrían demostrar usando técnicas sofisticadas que la gravedad cuántica supersimétrica maximal es mucho menos divergente de lo que se pensaría ingenuamente. Las palabras clave aquí son dualidad color-cinemática y la construcción de la doble copia que básicamente dice que una amplitud de dispersión de gravedad es de alguna manera el cuadrado de una amplitud de teoría de gauge. Consulta el arxiv, hay mucho sobre esto.
Ahora, en cuanto al conteo de potencias, el razonamiento es más o menos el siguiente: la acción de EH es básicamente $$\mathcal{L} = \frac{1}{\kappa} \int d^4x \sqrt{-g}R $$ con $g$ siendo el determinante de la métrica espacio-tiempo $g^{\mu\nu}$. La dimensión de masa del escalar de Ricci $R$ es $[m^2]$, la del medida integral es $[m^{-4}]$, es decir, para que toda la expresión sea adimensional $\kappa$ tiene que tener dimensión de masa $[m^{-2}]$. Si ahora haces una expansión perturbativa alrededor de un fondo plano de la métrica, te encontrarás en cada paso con más y más potencias de uno sobre $\kappa$. Gráficamente, esta expansión es una expansión en números de bucles en diagramas de Feynman. En cada paso, es decir, en cada nivel de bucle, toda la expresión debería ser adimensional, es decir, en cada paso necesitas más y más potencias del momento del bucle (en cada nivel de bucle dos potencias más, para ser precisos), de modo que al final tus expresiones se vuelven más divergentes cuanto más alto vayas en la expansión perturbativa. Para cancelar estas divergencias cada vez más enfermizas tendrías que introducir un número infinito de términos de contrafase que, en términos de renormalización, no tiene sentido, por lo tanto, esta teoría es no renormalizable por conteo de potencias.
Hay buenos apuntes de clase sobre esto, cf http://arxiv.org/abs/1005.2703 (Notas de Lance Dixon sobre supergravedad pero la parte introductoria es bastante general).
