1. Dada una cadena de Markov de tiempo discreto sin incrementos independientes, ¿es la incrustación de la misma en una cadena de Markov de tiempo continuo (es decir, mediante el uso de tiempos de espera exponenciales) un ejemplo de proceso de Markov de tiempo continuo sin incrementos independientes?
2. ¿Existe un proceso de Markov de tiempo continuo con trayectorias muestrales continuas que no tenga incrementos independientes?
3. ¿Existe un proceso de Markov de tiempo continuo para el que los incrementos tienen una distribución infinitamente divisible pero no incrementos independientes?
4. ¿Existe un proceso de Markov de tiempo continuo con un semigrupo/generador pero que no tenga incrementos independientes?
Una respuesta a cualquiera de estas preguntas sería muy apreciada.
Contexto:
1. Como respuesta a esto pregunta relacionada El usuario @madprob dio un ejemplo de una cadena de Markov de tiempo discreto que no tiene incrementos independientes.
En concreto, dejemos que un proceso de tiempo discreto con espacio de estados $\mathbb{R}$ definirse como sigue: $X_{n+1} = X_n + Z$ , donde $Z|(X_n,X_{n-1},...,X_0) \sim N(-X_n, 1)$ .
En general, cualquier proceso de Markov en tiempo discreto puede escribirse como $X_{n+1}=X_n+Z_{n+1}$ donde $Z_n = f(X_n,U_n)$ para algún tipo de $f$ y una variable aleatoria $U_n$ que es independiente de $(X_{n-1},...,X_1,X_0)$ -- por lo que el problema de encontrar un proceso de Markov de tiempo discreto que no tenga incrementos independientes se reduce al problema de elegir un $f$ .
Es de suponer que ese contraejemplo existe dada la respuesta a esta pregunta .
2. En el volumen 2 de Feller, p. 305, sección IX.5 (2ª ed), Feller afirma que "las trayectorias son continuas con probabilidad 1 si y sólo si el proceso es normal". ¿Es esto realmente cierto? Es evidente que no todos los procesos normales tienen incrementos independientes pero ese contraejemplo no es un proceso de Markov.
Además, creo que en uno de mis deberes demostré que un proceso gaussiano es de Markov si y sólo si tiene incrementos independientes, por lo que eso parece implicar que la respuesta a 2. es que no, pero no estoy seguro de ello.
3. En la página 318 de la sección IX.10 del volumen 2 de Feller, éste afirma que "las distribuciones asociadas a procesos continuos [con incrementos independientes pero no necesariamente estacionarios] son infinitamente divisibles". Pero, ¿significa algo la otra dirección? Es decir, si tenemos un proceso que es de Markov e incrementos infinitamente divisibles, ¿dice eso algo sobre la estacionariedad o la independencia de esos incrementos?
4. También en la página 353, X.9, Feller afirma que "prácticamente todos los procesos de Markov representan formas limitantes de procesos de pseudo-Poisson". Además, muchos procesos de Markov pueden estar formados por la subordinación de un proceso de Levy (un proceso con incrementos infinitamente divisibles). Dado que los incrementos infinitamente divisibles, los semigrupos y los incrementos independientes están todos relacionados de una u otra manera, esto parece sugerir que debería haber algún patrón para cuando un proceso de Markov tiene o no tiene incrementos independientes.
