Estimación de máxima verosimilitud dado el máximo de variables aleatorias geométricas

Question

Dado $n$ variables aleatorias geométricas independientes $X_n$ , cada uno con un parámetro de probabilidad $p$ , defina $$Z_n= \max_{i \in 1 .. n}X_n$$

Estoy interesado en lo que el mle de $n$ se da $Z_n$ , con un número conocido y fijo de $p$ .

Podemos dar una buena aproximación para la media de $Z_n$ .

$$Z_n \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{\lambda} H_n,$$ donde $H_n$ es el $n$ número armónico $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ y $\lambda = -\log (1-p)$ . (Ver https://math.stackexchange.com/a/26214/72724 )

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Dado que $p_{X}(x) = p \cdot (1 - p)^{x - 1}, \ x \in \{ 1, 2, \dots \}$ , $F_{X}(x) = \mathbb{P}(X \le x) = \sum\limits_{i=1}^x p \cdot (1 - p)^{i-1} = \sum\limits_{i=0}^{x-1} p \cdot (1 - p)^{i} = p \cdot \frac{1 - (1 - p)^{x}}{p} = 1 - (1 - p)^x$

$F_{\max\limits_{i \in 1 .. n}X_{n}}(x) = F_{X}(x)^n = (1 - (1 - p)^x)^n$

$p_{\max\limits_{i \in 1 .. n}X_{n}}(x) = (F_{X}(x)^n)^{\prime}_{x} = n \cdot (1 - (1 - p)^x) \cdot (1 - p)^x \cdot \ln(1 - p) = p_{Z_{n} | n}(x)$ - pdf condicionado.

Tomemos una distribución apriori uniforme sobre el parámetro n, porque no tenemos ninguna preferencia. Así que $p_{n}(x) \propto const $ .

Aplicar el Teorema de Bayes: $p_{n | Z_{n}}(n) = \frac{p_{Z_{n} | n}(x) \cdot p_{n}(n)}{p_{n}(n)} \propto p_{Z_{n} | n}(x) \cdot p_{n}(n) = p_{Z_{n} | n}(x) \cdot const.$

Así que el máximo se alcanza cuando $p_{Z_{n} | n}$ es maximal por n. Para un valor dado de $Z_{n}$ calcular $p_{Z_{n} | n}(x)$ para diferentes valores de n y tomar argmax.