¿Es un núcleo atómico lo suficientemente denso como para provocar una flexión significativa del espacio-tiempo?

Question

Sabemos que un núcleo atómico es muy denso, pero ¿es lo suficientemente denso como para crear algunos efectos relativistas interesantes?

Obviamente, en el límite clásico, donde sólo suponemos que los nucleones son bolitas.

Answer 1

La densidad de la materia nuclear es del orden de $2 \times 10^{17}\, {\rm kg/m^3}$ mientras que la densidad de Planck -la densidad a la que la gravedad cuántica es "interesante"- lo es:

$$\rho_P = \frac{m_P}{l^3_P}= \frac{c^5}{\hbar G^2} \approx 5 \times 10^{96}{\rm kg/m^3}$$

70 órdenes de magnitud más grandes. Así que puede ser seguro asumir que la gravedad no es gran cosa.

También se podría calcular el radio de Schwarzschild de un protón y encontrar que es 35 órdenes de magnitud menor que el radio del protón.

Answer 2

La gravedad no depende únicamente de la densidad, sino de ambas. y tamaño. Un objeto muy denso que es muy, muy pequeño -como un núcleo atómico- puede no tener mucha gravedad.

Para ver esto, hay que tener en cuenta que antes de llegar a la relatividad general, hay que llegar a la gravedad newtoniana. Y en la gravedad newtoniana, tenemos la fórmula para la magnitud del campo gravitatorio, $g$ ,

$$g(r) = \frac{GM}{r^2}$$

para una masa esféricamente simétrica $M$ y la distancia $r$ desde el centro y el exterior. Podemos replantear esto con la densidad señalando $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ , donde $\rho$ es la densidad:

$$g(r) = \frac{4\pi G \rho r}{3}$$

para que veas que la gravedad disminuye linealmente con el radio, aunque la densidad siga siendo la misma. Así, mientras que un núcleo y, por ejemplo, una estrella de neutrones, pueden tener una densidad similar, ya que un núcleo es del orden de $10^{18}$ veces menor en radio, su gravitación es del orden de $10^{18}$ veces más débil - De hecho, se puede calcular que para un núcleo de uranio, la "gravedad superficial" debería ser sólo de unos 1,05 µm/s^2 , eso es micras por segundo por segundo, o lo que es lo mismo, 1,05 m/s/Ms - es decir, para ganar sólo la velocidad de un barrido lento, habría que estar bajo esta influencia gravitatoria durante un #megasegsegundo completo - 11 días y 49,6 kilosegundos.

Si la gravitación newtoniana es tan débil, entonces dado que la relatividad general muy se aproxima mucho en este caso, se puede decir que la "curvatura del espacio-tiempo" es prácticamente nula, por lo que la respuesta a su pregunta es no No lo hace.

¡AÑADIR!: El comentarista de abajo dio un punto muy bueno sobre el hecho de que en relación con el tamaño del núcleo esto es en realidad una atracción gravitacional sustancial. Lo que me hizo decidirme a investigar la cuestión utilizando la Relatividad General, después de todo. Y en realidad no necesitamos mucho: como un núcleo es típicamente bastante esférico, podemos aproximar su gravitación a través de la métrica de Schwarzschild para un punto "justo fuera" de él. Y si hacemos eso, una buena medida de la "curvatura del espaciotiempo" en un solo número -ya que de forma más general tenemos un tensor de curvatura de Riemann de 4x4x4, que da información direccional más detallada al respecto- es el Escala de Kretschmann

$$K = R_{abcd} R^{abcd} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}$$

y resulta que -sorprendentemente- si se vuelve a utilizar la masa y el radio de un núcleo de uranio (395 yg, 5 fm) se obtiene que $K \approx 2.65 \times 10^{-16} \mathrm{m^{-4}}$ pero para el superficie de la Tierra con una masa de 5972 Yg y un radio de 6,37 Mm, obtenemos $K$ es aproximadamente $1.41 \times 10^{-44}\ \mathrm{m^{-4}}$ , o casi $2 \times 10^{28}$ veces ¡más pequeño! De hecho, el $K$ que obtuvimos del $^{238}_{92}\mathrm{U}$ núcleo es casi exactamente el mismo que el escalar en la superficie de una estrella de neutrones de radio 10 km y masa 1,4 $M_\odot$ ( $2.8 \times 10^9\ \mathrm{Yg}$ ¡)!

Además, observe que si hace el álgebra como en la sección anterior sustituyendo adecuadamente, encontrará que en general $K$ depende sólo sobre la densidad media de la materia en la envoltura de radio [coordenada de Schwarzschild] $r$ [heurísticamente: nota $M^2$ le da $r^6$ en el numerador]. Es decir, la "gravedad" en sentido acelerativo no depende únicamente de la densidad, pero curvatura del espaciotiempo hace .

Dicho esto (ADD 2, ¡gracias @Ghoster!), nota que este escalar de Kretschmann puede ser pensado como una especie de "curvatura volumétrica" - nota que las unidades son $\mathrm{m}^{-4}$ o por volumen espacio-temporal, por lo que la curvatura más de un cuarto de metro del volumen del espacio-tiempo. En particular, mientras que la curvatura en una unidad de volumen es el mismo que el de una estrella de neutrones, un núcleo tiene mucho menos volumen, del orden de $10^{-45}\ \mathrm{m}^3$ espacialmente y alrededor de $10^{-18}\ \mathrm{s}$ (la escala de tiempo de las interacciones fuertes) temporalmente, para un total de $10^{-71}\ \mathrm{m}^4$ . Al igual que la Tierra tiene un radio de curvatura de unos 6.370 km, pero un ser humano sólo mide 1,69 m y, por lo tanto, a escalas en torno a un ser humano el modelo de la Tierra plana funciona bien, también esto es completamente insignificante en términos de curvatura total.

Por lo tanto, la conclusión es un poco más complicada que las dos anteriores que he dado: el resultado de la gravedad de Newton y la RG coinciden, por lo tanto, en que no causa una total "doblar", pero cada unidad de "material es un "agente" de flexión "tan potente" para un núcleo como para una estrella de neutrones.

¡AÑADIR 3!: Y como sugiere @KP99, se pone otra arruga más sobre el hecho de que el núcleo tiene carga. Enlazan con un artículo con una complicada expresión para $K$ que puede seguir para obtener el enlace. Para el caso del uranio, afortunadamente tenemos espín cero, por lo que $a = 0$ , pero el cargo $Q = +92\ \mathrm{e} \approx 14.7\ \mathrm{aC}$ . La diferencia no es grande, pero el valor más exacto, teniendo en cuenta la carga, es de aproximadamente un 2%. más pequeño que la citada anteriormente.

(Nótese que este documento aparentemente utiliza unidades normalizadas [ $G = c = 1$ ] pero no estoy seguro de la normalización utilizada para la carga; el cálculo anterior asume la normalización de Planck, es decir $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 1$ pero el autor no dice cuál utilizan; supongo que esto se debe a la ausencia de factores de $4\pi$ que se encuentra en los alrededores. No cambia drásticamente el resultado, pero no te fíes exactamente de esa cifra del 2%).

Answer 3

El Ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general tiene en el lado derecho un objeto, $T_{\mu\nu}$ llamado tensor de tensión-energía. El $T_{00}$ componente de este objeto es la energía (densidad). El LHS de estas ecuaciones tiene lo que se llama el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$ y representa la curvatura del espaciotiempo $^1$ . Se puede concluir que como un núcleo tiene energía (masa), entonces el espacio-tiempo a su alrededor debería curvarse.

El problema de esta afirmación es que no estamos seguros de que la relatividad general funcione a escalas tan pequeñas. Es posible que las leyes de la gravitación se rompan a nivel cuántico. Es decir, no tenemos consistente teoría cuántica de la gravitación en todas las energías y escalas.

Pero como se ha señalado en los comentarios, tenemos teorías del campo efectivo o "aproximaciones" a QG, que se comportan bien y producen resultados consistentes sólo a energías "normales". En el ámbito de la física de muy alta energía, no ocurre lo mismo.

$^1$ Este tensor tiene la forma $${\bf G_{\mu\nu}}={\bf R_{\mu\nu}}-\frac 12 {\bf g_{\mu\nu}}R$$ donde $\bf R_{\mu\nu}$ es el tensor de curvatura de Ricci, $R$ es la curvatura escalar de Ricci, y $\bf g_{\mu\nu}$ se llama tensor métrico.

EDITAR: @ohwilleke ha señalado correctamente que he malinterpretado la intención del OP, y que esta pregunta es sobre si un núcleo es lo suficientemente denso como para causar "efectos relativistas interesantes", y para resumir, en lugar de borrar esta respuesta, sabemos que los efectos gravitacionales cuánticos se vuelven discernibles en la escala de Planck. Por lo tanto, podemos utilizar la La masa de Planck, y la longitud de Planck para obtener una medida de la densidad a la que esos efectos son perceptibles. Como su pregunta también supone que los núcleos son esferas (lo que no es exacto desde la perspectiva de la mecánica cuántica), podemos calcular $$\text{Planck density}=\frac{m_p}{\frac 43 \pi(\frac{l_p}{2})^3}$$ que da un número $\text{~} 10^{94}\ kg \ m^{-3}$ Sabemos que la densidad de un núcleo es del orden $\text{~}10^{16}\ kg \ m^{-3}$ podemos concluir con seguridad que no habrá efectos relativistas "interesantes".

Answer 4

La densidad de una masa $m$ distribuido en el espacio con el parámetro de escala $r$ va como

$$ \rho \sim \frac{m}{r^3} $$

(Por ejemplo, una distribución esférica sustituye el garabato por un factor de $4\pi/3$ .) Mientras tanto, el radio de Schwarzchild es como

$$ R_\text{grav} \sim \frac{GM}{c^2} $$

Estas relaciones significan que la densidad solo no es suficiente para preguntarse si los efectos gravitacionales son significativos: la masa total, o equivalentemente el tamaño de la distribución densa, también es importante.

En cuanto a la materia nuclear, con nuestra precisión de un factor de unos pocos, un núcleo atómico tiene la misma densidad que una estrella de neutrones. Reemplacemos una de nuestras dos variables $M,R$ con la densidad constante $\rho$ :

$$ \rho\sim \frac{M}{R^3} \sim \frac{R_\text{grav}}{R^3} = R^{-2} \qquad\text{or}\qquad R_\text{grav} \sim \rho^{-1/2} $$

Es frecuente encontrar esta afirmación invertida. Si fingimos que un agujero negro es una esfera de densidad constante cuya superficie es su horizonte de sucesos (tapándonos la nariz para disuadir a los relativistas de que vengan a explicar por qué esta idea es defectuosa), encontramos que los agujeros negros grandes son menos densos que los pequeños. Las descripciones de la ciencia popular sobre los agujeros negros se refieren a la "muerte por espaguetización" y señalan que un agujero negro pequeño espaguetizará a los transeúntes fuera del horizonte de sucesos, mientras que un agujero negro grande no ejercerá fuerzas de marea significativas hasta después de haber cruzado el horizonte de sucesos.

Una respuesta cuidadosa a su pregunta es que los objetos con la misma densidad que un núcleo puede producen importantes efectos de curvatura espacio-temporal. Pero eso no significa que un núcleo produzca una curvatura espaciotemporal significativa: se necesita una masa solar de materia nuclear, compactada en el tamaño de una ciudad.

Answer 5

Hay mucha información buena en las respuestas existentes, pero creo que podemos añadir algo directamente relevante a la pregunta. La pregunta se refiere a una "curvatura significativa", por lo que tenemos que cuantificar cuánta curvatura sería "significativa". Me gustaría traducir esto en la pregunta "si utilizamos la geometría euclidiana para relacionar distancias, áreas y volúmenes cerca de un núcleo atómico, ¿qué precisión tendrán nuestros cálculos?"

He aquí una forma precisa de responder a esto. Bueno, precisa si me permites modelar un núcleo como una esfera de densidad uniforme.

Para una esfera de densidad uniforme se puede derivar de las ecuaciones de campo de Einstein el siguiente resultado útil: $$ r - \sqrt{A/4\pi} = \frac{G M}{3 c^2} $$ donde $M$ es la masa de una esfera uniforme de radio $r$ y la superficie $A$ . Para ser precisos, $r$ es la distancia del centro a la superficie de la esfera, indicada por un juego de reglas estándar colocadas de extremo a extremo, y $A$ es la superficie indicada por las mediciones de área utilizando reglas estándar distribuidas sobre la superficie de la esfera. La geometría euclidiana daría $A = 4 \pi r^2$ La relatividad general dice $A \ne 4 \pi r^2$ . La fórmula anterior da la corrección de orden principal al resultado euclidiano. Se denomina exceso de radio es decir, cuánto más radio tiene la esfera en comparación con lo que se podría haber adivinado por su superficie. Alternativamente, se puede decir que la superficie es un poco menor de lo que se podría haber adivinado a partir del radio.

Tenga en cuenta que $$ G / 3 c^2 \simeq 2.5 \times 10^{-28} \mbox{metres per kilogram} $$

Pondré números para tres ejemplos: el planeta Tierra, una estrella de neutrones y un núcleo atómico. $$ \begin{array}{lll} \mbox{object} & \mbox{mass} & \mbox{radius excess} \\ \mbox{Earth} & 5.97 \times 10^{24}\; {\rm kg} & 1.48\; \mbox{millimetres} \\ \mbox{neutron star} & 3 \times 10^{30}\; {\rm kg} & 743\; \mbox{metres} \\ \mbox{neutron} & 1.67 \times 10^{-27}\; {\rm kg} & 4 \times 10^{-55}\; \mbox{metres} \end{array} $$ Puede comparar estos resultados con el radio del objeto en cuestión: unos 6400 km para la Tierra, unos 10 km para una estrella de neutrones, unos $0.8$ fm para un neutrón.

En cuanto a la superficie que falta (es decir $4 \pi r^2 - A$ ) obtenemos $$ \begin{array}{ll} \mbox{Earth} & 0.24\;{\rm km}^2 \\ \mbox{neutron star} & 194\;{\rm km}^2 \\ \mbox{neutron} & 8 \times 10^{-69}\;{\rm m^2} \end{array} $$ Por lo tanto, el área que falta para una estrella de neutrones es aproximadamente el 15% de la superficie. El área que falta para el planeta Tierra es de aproximadamente $10^{-9}$ de la zona, pero pequeñas es suficiente para hacer 33 campos de fútbol. El área que falta para un neutrón es de aproximadamente $10^{-39}$ de la zona, por lo que es insignificante.

Dado que el exceso de radio es proporcional a la masa (para una esfera uniforme) puedes calcular fácilmente los resultados para un núcleo de tu elección. Un núcleo pesado como uranio-238 tiene una masa de 238 unidades atómicas. Se encuentra que para tal núcleo la superficie que falta es insignificante comparada con la superficie. Por lo tanto, en esta medida, el núcleo atómico no causa una flexión significativa del espacio-tiempo.