Definición de la función exponencial, ¿con un solo valor o con varios?

Question

Si definimos

$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots$$

entonces es de un solo valor.

Sin embargo, si escribimos

$$e^z=e^{z\ln e}$$

entonces es multivalente.

Además, $a^z$ es multivalente en general. Es un poco extraño si sólo cuando la base es $e$ que es de un solo valor.

Mi pensamiento: ¿Es cierto que hay dos funciones exponenciales, llamémoslas $\exp(z)$ y $e^z$ ?

Donde $\exp(z)$ se define por

$$\exp(z)=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots$$

y es de un solo valor, mientras que $e^z$ se define por

$$e^z = \text{exp}(z\ln e)$$

y es multivalente?

Aquí $\ln z$ se define por $\exp(\ln z)=z$ y es multivalente.

Answer 1

La notación $e^z$ es sólo una abreviatura de $\exp(z)$ . Todo el mundo está de acuerdo en que cuando $e^z$ se evalúa significa $$ e^z=\exp(z)=\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{n!} $$

Por desgracia, la notación no siempre es coherente.

De hecho, si interpretamos $e^z$ como $\exp(z\log e)$ , donde $\log e$ es cualquier determinación del logaritmo, obtendríamos infinitos valores, a menos que $z$ es un número entero. Esto se debe a que $\log e$ puede ser cualquier número complejo $w$ tal que $\exp(w)=e$ y es fácil ver que $w=1+2ki\pi$ , para $k\in\mathbb{Z}$ . Así, $\exp(zw)=\exp(z(1+2ki\pi))$ . Por ejemplo, si $z=1/2$ tendríamos que asignar $e^{1/2}$ ambos valores $\sqrt{e}$ y $-\sqrt{e}$ .

Sin embargo, como dije al principio, la notación es un poco descuidada en este sentido. Escribir $e^z$ en lugar de $\exp(z)$ se considera más práctico y por eso $e^z$ utilizado con la convención de que significa lo mismo que $\exp(z)$ principalmente porque las funciones de un solo valor pueden manipularse mejor algebraicamente.

Como usted señala, la gente suele evitar el uso de $a^z$ para $a\ne e$ cuando $z$ posiblemente varía en los números complejos. En el caso de los reales positivos $a$ Sin embargo, ya que $\log a$ tiene un sistema bien definido único valor real, no hay dificultad para definir y utilizar $a^z=\exp(z\log a)$ , donde $\log a$ significa que el valor real único. La propiedad algebraica $a^{z_1+z_2}=a^{z_1}a^{z_2}$ se mantiene sin restricciones, con esta convención (pero sólo para reales positivos $a$ ).

Answer 2

Se encuentran problemas con la segunda definición de la exponencial, ya que la función $e^z$ en el plano complejo no es 1-1. En $\mathbb{R}$ es cierto que $e^x=e^y$ implica $x=y$ pero, por ejemplo, $e^0=1=e^{2\pi i}$ en $\mathbb{C}$ y $0 \neq 2\pi i$ . Así que $e^z$ no tiene una inversa--de ahí que su segunda ecuación sea multivaluada.

Answer 3

Definir \begin{eqnarray} \ln z &=& \text{Ln}|z| + i \arg z\\ &=& \text{Ln}|z| + i(\arg z + 2 \pi n) \end{eqnarray} Donde $\text{Ln}$ es el logaritmo real ordinario, claramente el logaritmo complejo es multivalente ya que depende de $n$ .

Answer 4

Es cierto que el complejo mapa $\ln$ es multivalente, pero en el caso de su segunda definición no importa, porque $\exp$ mata los argumentos extra de $\ln$ Así que la definición se convierte en un valor único y está perfectamente bien.

Por ejemplo, $\arg(e)=\Theta=0$ y $\ln|e|=1$ por lo que su definición se convierte en..:

$$e^{z\cdot \ln(e)}=e^{z\cdot (\ln|e|+(\Theta+2k\pi))i}\text{ },k\in\mathbb{Z}\Rightarrow$$ $$e^{z\cdot \ln(e)}=e^{z(1+2k\pi i)}\Rightarrow$$ $$e^{z\cdot \ln(e)}=e^z\cdot e^{z2k\pi i},k\in\mathbb{Z}\text{ (1)}$$

Corrección tras el comentario de egreg:

Los dos pasos siguientes son, de hecho, erróneos.

$$e^{z\cdot \ln(e)}=e^z\cdot (e^{2k\pi i})^z\Rightarrow$$ $$e^{z\cdot \ln(e)}=e^z\cdot 1^z=\exp(z)$$

Tendrían razón, si el PO hubiera especificado sólo la rama principal de $\ln$ . Como no hay tal consenso, corrijo mi respuesta, basándome en el comentario de egreg.

Estoy de acuerdo entonces en que la definición es multivalente, y parece que los valores reales vienen dados por la última línea (1).

Answer 5

• De hecho, lamentablemente, las definiciones estándar de $e^z\;(z\in\mathbb C)$ como un valor único -lo que generalmente queremos- son consistentes, cuando se utiliza el logaritmo $(\log)$ definición de $e^z$ , sólo con el uso de la rama principal $\mathrm{Log}.$

  Es decir, normalmente, $$e^z := 1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots \\= e^{z\,\mathrm{Log}(e)} \\ e^{z\log(e)};$$ sin embargo al querer el función sea multivaluada (por ejemplo, al determinar $n$ raíces), $$e^z := e^{z\log(e)}.$$

• La definición multivalente de $e^z$ (es decir, utilizando $\log$ en cambio $\mathrm{Log}$ para definir $e^z$ ) resulta en $$e^{x+iy} = e^{x+iy}e^{2k(ix-y)}$$ siendo multivalente, lo que generalmente es no se desea. Por ejemplo, este resultado aparentemente contradictorio se produce: $$e^{i\pi}=-e^{2n\pi^2}\\\neq-1.$$

• Hasta leer este post, había pensado que $\exp()$ y $e^{()}$ son sinónimos; resulta que la convención es que el primero denota la variante monovaluada de la segunda. Se trata, en efecto, de una buena desambiguación.