Medios de $a$ y $b$ dado $(a-\sqrt3-\sqrt2)^2+(b-\sqrt3+\sqrt2)^2=0$

Question

Dejemos que $a,b\in\Bbb R$ para que $$(a-\sqrt3-\sqrt2)^2+(b-\sqrt3+\sqrt2)^2=0$$ Determinar las medias aritméticas, geométricas y armónicas de $a$ y $b$ .

Al abrir los paréntesis, obtengo $a^2$ y $b^2$ para que no se puedan determinar los medios.

Answer 1

Una pista: Cada sumando es un cuadrado y por lo tanto $\ge 0$ . Para que su suma sea igual a $0$ cada sumando (es decir, el término de cada paréntesis) debe ser igual a cero.

Answer 2

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ determina un círculo centrado en $(a,b)$ con radio $r$ . De ello se desprende que si $r=r^2=0$ el círculo degenera en un punto, por lo que la ecuación sólo se satisface cuando $x=a$ y $y=b$ . Por lo tanto, $a=\sqrt3+\sqrt2$ , $b=\sqrt3-\sqrt2$ y los medios siguen:

• La media aritmética es $\frac{\sqrt3+\sqrt2+\sqrt3-\sqrt2}2=\sqrt3$
• La media geométrica es $\sqrt{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=1$
• La media armónica es $\frac2{\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt3-\sqrt2}}=\frac1{\sqrt3}$