2021 Mathcounts práctica competencia objetivo # 4 pregunta # 2

Question

¿Cuál es el mayor número de números consecutivos positivos que suman 400?

Mi enfoque:

Tenemos términos de : $(x-n)..... x.....(x+n)$
Esto significaría que la suma de estos términos es
$(2n+1) * 2x * 1/2 = x(2n+1) = 400$
$2n+1$ Debe ser un número impar, por lo que $x$ es incluso
$400 = 20^2 = 2^4 * 5^2$
El múltiplo impar es $5$ con $x$ siendo 80, o tenemos $25*16$ &25*16& tendría más términos. Como x es 16, sabemos que tenemos el rango (x-12) = 4 a (x+12) = 28
Por lo tanto, tenemos 25 términos como máximo.

La respuesta correcta es 27, y no sé cómo conseguirlo. Consideré la posibilidad de una cantidad par de términos , pero 27 no es par así que eso no importaría. ¿En qué me he equivocado / La respuesta real es incorrecta?

PRUEBA QUE NO ES UNA PRUEBA EN CURSO:

Tengo la verdadera respuesta.

Answer 1

Que la suma sea $\sum_{k=1}^n (x+k)$ , donde $x\geqslant 0$ . Esta suma tiene $n$ términos consecutivos positivos y es igual a

$$nx + (1+2+\dots+n) = nx + n(n+1)/2 = \frac n2(2x+n+1)$$

En otras palabras, necesitamos encontrar el número entero máximo $n$ tal que para alguna integral $x\geqslant 0$ tenemos

$$\frac n2(2x+n+1) = 400 \iff n\big(2x+(n+1)\big) = 800$$

A partir de esto, tenemos que $n$ divide $800$ Así que $27$ no puede ser la respuesta.
Por supuesto, $n\big(2x+(n+1)\big) > n^2$ así que $n$ debe ser inferior a $\sqrt{800} \simeq 28.28$ , lo que implica $n\leqslant 28$ .

Ahora, $26$ , $27$ y $28$ no dividir $800$ Así que nuestro primer candidato es $25$ . Obtenemos

$$25(2x+26) = 800 \implies 2x + 26 = 32 \implies x = 3,$$

que confirma $n=25$ como la respuesta correcta.

Answer 2

Dejemos que $400=(x+1)+(x+2)+\cdots+(y-1)+y$ , donde $y\ge x>0$ . Ahora, tenemos $400=\frac{x(x+1)}2-\frac{y(y+1)}2$ , o de forma equivalente, $800=(x-y)(x+y+1)$ . Por lo tanto, deseamos encontrar una factorización $800=n\cdot m$ donde $m$ y $n$ tienen diferentes paridades, $m>n\ge0$ y que maximiza $n$ (la longitud de la suma). Después de algunos experimentos, vemos que $n=25$ y $m=32$ es la mejor posible.