El juego primario y las columnas no primarias.

Question

El juego principal:

Definimos $\Delta n$ sea el número de columnas de la siguiente tabla: $$ \overbrace{\begin{matrix} 1 & \color{green}2 & \color{green}3 & 4 & \color{green}5 \\ 6 & \color{green}7 & 8 & 9 & 10 \\ \color{green}{11} & 12 & \color{green}{13} & 14 & 15 \\ 16 & \color{green}{17} & 18 & \color{green}{19} & 20 \\ 21 & 22 & \color{green}{23} & 24 & \ldots \end{matrix}}^{\Delta n\text{ columns}} \text{$ \qquad\Delta n =5 $ in this case.} $$ Y también definimos una cantidad $m$ que representa el número de columnas saltadas al principio: $$ \overbrace{\begin{matrix} \leftarrow\overset{m}{}&{\rightarrow} & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ 19 & 20 & 21 & 22 & \ldots \end{matrix}}^{\Delta n\text{ columns}} \text{$ \qquad m =2 $ in this case.} $$

Ahora, las preguntas:

• ¿Existe una solución no trivial (es decir, que no sea $1,0$ & $1,1$ ) para $\Delta n, m$ ¿para qué números primos aparecen todos consecutivamente en la misma columna/columnas y en ninguna otra parte? Una situación como ésta: $${\begin{matrix} x& p& x & p & x \\ x & p & x & p & x \\ x & p & x & p & x \\ x & p & x & p & x \\ x & p & x & p & \ldots \end{matrix}}\qquad\begin{cases}x: & \text{nonprime.} \\ p: & \text{prime.} \\\end{cases}$$ $\rm\bf Op:$ Creo que la respuesta será un "no", pero primero habría que probarlo, lo que me cuesta por el momento.
• Para lo cual $\Delta n,m$ ¿existe una columna (o más) que no contenga ningún primo? (aparte de la trivial en la que obtenemos una secuencia de números pares)
  $\rm \bf Op:$ Creo que la respuesta será un gran número pero no estoy seguro. Necesito más herramientas para encontrar una prueba adecuada.
• ¿Qué son todos los pares $\Delta n,m$ para el que existe una fila que no contiene ningún primo?

Espero encontrar la respuesta a estas preguntas con su ayuda.

Answer 1

Primera pregunta: esto nunca sucederá. Cada una de sus columnas es una secuencia aritmética de la forma $$a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,\ldots,\,a+kd,\,\ldots$$ donde $d$ es lo que ha llamado $\Delta n$ . Una secuencia como ésta no puede contener sólo primos, debe tener un número compuesto antes o después. La forma más fácil de (casi) ver esto es considerar cuando $k=a$ : entonces el número es $a+ad$ que tiene un factor de $a$ y por lo tanto no es primo. Sin embargo, no es del todo correcto, ya que $a$ puede ser $1$ y luego $1+d$ podría ser primordial. Así que tenemos que ser un poco más inteligentes. Si tomamos $k=a(d+2)$ entonces el número es $$a+kd=a+a(d+2)d=a(d+1)^2$$ que es definitivamente compuesto.

Segunda pregunta: hay muchos casos en los que habrá una columna libre de primas. Sólo hay que asegurarse de que $a$ y $d$ tienen un factor común mayor que $1$ . Por ejemplo, en su notación tome $m=0$ y $\Delta n=4$ . Entonces la cuarta columna será $4,8,12,16,\ldots\,$ : todo número es un múltiplo de $4$ y por lo tanto no es primo.

Tercera cuestión: elijas los números que elijas, tarde o temprano habrá una fila sin primos. Esto se debe a que puedes encontrar "huecos" en los primos tan grandes como quieras. Por ejemplo, tomemos $\Delta n=5$ . Los números $$11!+2,\,11!+3,\,11!+4,\,\ldots,\,11!+11$$ son diez números compuestos seguidos, a ver si puedes explicar por qué. Así que habrá una fila de $5$ en su tabla que sólo contiene números compuestos.

Answer 2

En primer lugar, observe que cada columna será una progresión aritmética con diferencia común $\Delta n$ .

El teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas establece;

Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ , $n > 1$ y que $a \in \mathbb{N}$ sea coprima de $n$ . Entonces hay infinitos primos $\equiv a$ (mod $n$ ). Es decir, hay infinitos primos en la progresión aritmética $a, a+n, a+2n,...$

Este es un teorema de gran potencia (y la prueba es "difícil").

Usando esto, entonces, para tener una columna que no contenga ningún primo se necesitaría $\Delta n$ y el primer número de esa columna tengan un factor común no trivial - y observe que si lo tienen, entonces este factor dividirá todo en la columna, por lo que no habrá primos (excepto posiblemente el primer elemento de la columna si es a su vez primo, y es dicho factor común).

Debería poder utilizarlo para encontrar ejemplos de la $m, \Delta n$ necesario.

Para tener una columna formada enteramente por primos, se necesitaría una serie infinitamente larga de primos en progresión aritmética. Los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas (véase la teorema de Green-Tao), pero todas son finitas - ha habido muchos resultados en la teoría de números sobre la distribución de los primos, olvido la prueba o el nombre de este, pero debería ser encontrable si se busca en el área.

Una fila que no contenga primos requiere una lista de $\Delta n$ números compuestos consecutivos, comenzando en el punto correcto - para garantizar que hay uno que comienza a alinearse con una fila, una lista de $2 \Delta n$ números compuestos consecutivos será suficiente. Es posible demostrar que existen cadenas arbitrariamente largas de números compuestos consecutivos (pista: intente encontrar una cadena de longitud $k$ - considerar los factoriales).

Answer 3

Tenga en cuenta que $\Delta m$ sólo gira y desplaza las columnas, por lo que no añade realmente nada nuevo.

La respuesta a su primera y tercera pregunta es no, ya que existen intervalos arbitrariamente grandes que no contienen ningún número primo (para un intervalo de tamaño $n+1$ considere $n!, \dots, n!+n$ ).

Con respecto a su segunda pregunta, dejemos que wlog $\Delta m = 0$ y considerar la $k$ -Columna de la derecha. Entonces:

• Si $n$ y $k$ no son coprimos, hay exactamente un primo en el $k$ -ésima columna si $k$ es primo y ningún primo en caso contrario, porque cualquier número de la columna será divisible por $(n,k)$ .

• Si $n$ y $k$ son coprimos, hay infinitos primos en el $k$ -a columna mediante la aplicación de Teorema de Dirichlet (de hecho la afirmación es equivalente).

Concluimos que hay un primo en cada columna si $n$ es un primo. La razón es que si $n$ no es un primo, no habrá un primo en el $2p$ -para cualquier primo $p \mid n$ .

Answer 4

Cada número primo tiene una tabla formulada por PN+(PNx6). Esto sí genera columnas de posibles números primos (6n+o-1), más dos columnas de números compuestos dentro del conjunto de posibles números primos, que funcionan como un tamiz cuando se aplican a la secuencia de posibles números primos.

Aquí tienes un ejemplo rápido para calcular los números primos hasta el 100 utilizando estas tablas.

Posibles números primos mayores que 3:

. 5 . 7 .11 13 17 .19 23 25 29 31

35 37 41 43 47 49 53 55 59 61

65 67 71 73 77 79 83 85 89 91

95 97

Esta es la tabla de números primos del 5. Identifica estos números compuestos en la lista de posibles números primos: 25 35 55 65 85 95

La tabla PN para 7 identifica: 49 91

La tabla PN para 11 identifica: 77

Utilizando esta criba, sólo hay que hacer 9 cálculos para eliminar los números compuestos hasta el 100, dejando sólo los números primos. Para la criba de Eratóstenes se necesitan 113 cálculos.