Una pregunta sobre el grupo lineal especial

Question

¿Hay alguna manera de encontrar todas las matrices $G \in SL(n,\mathbb Z)$ tal que existe una matriz $A \in GL(n,\mathbb R)$ satisfaciendo $$ AGA^{-1} \in SO(n,\mathbb R)? $$

Answer 1

Estos son exactamente los elementos de orden finito:

1. Si $G \in \text{SL}(n,\mathbb{Z})$ tiene un orden finito, entonces existe un producto interno preservado por $G$ (tomar un producto interno arbitrario y sumar sus imágenes bajo todas las potencias de $G$ ). El cambio de bases a una base ortonormal para este producto interno invariante tiene el efecto de conjugar $G$ en el grupo ortogonal.

2. Por el contrario, si $G \in \text{SL}(n,\mathbb{Z})$ es tal que existe algún $A \in \text{GL}(n,\mathbb{R})$ con $A G A^{-1} \in \text{SO}(n,\mathbb{R})$ Entonces, como $A \cdot \text{SL}(n,\mathbb{Z}) \cdot A^{-1}$ es un subgrupo discreto de $\text{GL}(n,\mathbb{R})$ su intersección con el grupo compacto $\text{SO}(n,\mathbb{R})$ es un grupo finito, y por tanto $G$ tiene un orden finito.