Un monoide donde el cuadrado de todos los elementos es 1 es abeliano

Question

El siguiente problema me hace pasar un mal rato:

Dejemos que $M$ sea un monoide con $a^2 = 1$ para $a \in M$ . Demostrar que $M$ es abeliana.

Parece tan sencillo como que un monoide sólo necesita ser asociativo y debe tener un elemento neutro (aquí $1$ ). Así que no hay muchas cosas que probar. Sin embargo, después de algunas horas de prueba tengo que admitir que no sé qué probar a continuación.

Tal vez alguien de ustedes pueda darme una pista.

Saludos cordiales.

Answer 1

$1=abab\to b=ababb \to b=aba \to ab =aaba \to ab =ba $