Terminando "Álgebra Abstracta" de Charles C. Pinter, después de haber sido introducido a los fundamentos de la teoría de Galois en el capítulo anterior (teorema fundamental y algunos otros resultados), me encuentro muy confundido por el argumento presentado en el capítulo final que está dedicado a las soluciones radicales de los polinomios.
El autor comienza definiendo una extensión radical sobre un campo $F$ como una extensión $F(c_1,...,c_n)$ tal que para cada $i$ existe un número entero (no nulo), k, tal que $c_i^k\in F(c_1,...,c_{i-1})$ .
Luego establece que toda extensión radical sobre un campo que contenga las raíces de la unidad necesarias es una extensión abeliana.
La parte clave que no consigo entender es lo que parece ser una prueba de que toda extensión radical sobre un campo, $F$ (que contiene sus raíces de la unidad) es un campo de división (denominado en el libro campo de raíces) sobre $F$ ?
Esto es lo que dice el autor (se supone que $F$ ya tiene todas las raíces relevantes de la unidad):
Por lo tanto, si $K=F(c_1,...,c_n)$ es una extensión radical de $F$ :
$\qquad\underline F\subseteq\underline {F(c_1)}\subseteq\underline {F(c_1,c_2)}\subseteq ...\subseteq\underline {F(c_1,...,c_n)} \qquad\qquad$ (2)
$\qquad I_0\qquad I_1 \qquad\qquad I_2 \qquad\qquad\;\;\;\; I_m=K$es una secuencia de simples abeliano extensiones. (Las extensiones son todas abeliano por los comentarios de los tres párrafos anteriores).
$\quad$ Sin embargo, esto no es suficiente para nuestros propósitos: Para poder utilizar la maquinaria establecida en el capítulo anterior, debemos poder decir que cada campo de (2) es un campo raíz de $F$ .
En este punto, me parece que el autor va a proporcionar una prueba de que toda extensión radical sobre $F$ también es un campo de división sobre $F$ .
La interpretación anterior de lo que ha dicho Pinter puede ser donde está mi error de hecho, porque no puedo ver cómo el argumento proporcionado por delante es lo suficientemente fuerte como para llegar a demostrar esto (que cada extensión radical es un campo de división, quiero decir).
(mi malentendido en lo que sigue-el argumento presentado (parece ser) esencialmente la inducción sobre los campos $I_q$ para mostrar que todos son campos raíz sobre $F$ . Pero la forma en que envuelve las cosas al final hace que parezca que ni siquiera debíamos asumirlo $I_{q+1}$ era un campo de extensión para empezar)
Este es el argumento:
Esto puede lograrse de la siguiente manera. Supongamos que ya hemos construido las extensiones $I_0\subseteq I_1\subseteq...\subseteq I_q$ en (2) para que $I_q$ es un campo raíz sobre $F$ . Debemos ampliar $I_q$ a $I_{q+1}$ para que $I_{q+1}$ es un campo raíz sobre $F$ . También, $I_{q+1}$ debe incluir el elemento $c_{q+1}$ que es el $n$ raíz de algún elemento $a\in I_q$ .
$\quad$ Dejemos que $H=\{h_1,...,h_r\}$ sea el grupo de todos los $F$ -que fijan los automorfismos de $I_q$ y considerar el polinomio:$\qquad b(x)=[x^n-h_1(a)][x^n-h_2(a)]...[x^n-h_r(a)]$
En lo que sigue, el autor utiliza básicamente el hecho de que cualquier isomorfismo $f:K_1\rightarrow K_2$ puede extenderse a un isomorfismo $\bar f:K_1[X]\rightarrow K_2[X]$ donde
$\bar f(a_0+a_1x+...a_sx^s)=f(a_0)+f(a_1)x+...+f(a_s)x^s$ .
Así que (para cualquier i):
$\bar h_i(b(x))=\bar h_i[x^n-h_1(a)]\bar h_i[x^n-h_2(a)]...\bar h_i[x^n-h_r(a)]\\=[x-h_i(h_1(a)][x-h_i(h_2(a)]...[x-h_i(h_r(a)]$
Pero, como $h_i\circ :H\rightarrow H$ (para cualquier i) es una biyección, los términos de la forma $[x-h_k(a)]$ son todos simplemente permutados, por lo que $\bar h_i(b(x))=b(x)$ . Así que (dado $\bar h_i$ ) cada $h_i$ fija cada coeficiente de $b(x)$ - cada coeficiente de $b(x)$ está entonces en el campo fijo de $H$ es decir $F$ (por el teorema fundamental) por lo que $b(x)\in F[X]$ .
Entonces, el autor termina:
Ahora definimos $I_{q+1}$ para ser el campo raíz de $b(x)$ en $F$ . Dado que todas las raíces de $b(x)$ son $n$ raíces de los elementos en $I_q$ se deduce que $I_{q+1}$ es una extensión radical de $I_q$ . Las raíces pueden unirse una a una, dando lugar a una sucesión de abeliano extensiones, como se ha comentado anteriormente. Para concluir, podemos suponer en (2) que $K$ es un campo raíz sobre $F$ .
Sí, así que esencialmente, ¿cómo sabemos que $I_{q+1}$ es en realidad el $q+1$ ¿la extensión radical en (2), es mi pregunta? Es un campo raíz seguro y contiene $I_q$ y $c_{k+1}$ pero lo que parece que hemos demostrado es que un campo divisor que contiene a otro campo divisor (que resulta ser una extensión radical) es también una extensión radical, en lugar de lo que yo suponía que intentábamos demostrar (que cada extensión radical es un campo divisor). ¿O no es eso lo que ocurre? ¿Me estoy perdiendo algo obvio o es que estoy viendo esto de forma equivocada?
Sé que es mucho para una pregunta, pero agradecería mucho cualquier ayuda.
(Si hay algo que no está claro aquí, por favor deje un comentario).
