Primalidad del producto de la suma de dos cuadrados

Question

La primera proposición de Euler dice que un número que es un STS, si se divide por otro prime STS, dará un cociente que es un STS. Mi pregunta es, ¿por qué es necesaria esa primalidad? Si divido por un compuesto STS, ¿seguiré teniendo un STS? No soy el mejor en la teoría de los números, pero lo veo más o menos así.

$xy=STS$ donde $x= prime STS$

STS puede estar formado por = no-STS * no-STS O STS puede estar formado por = STS * STS

NON-STS compuesto por = non-STS * STS

Sabiendo eso,

si multiplico un no-STS por un STS siempre me quedará un no-STS, lo que a su vez significa que eso mismo no es un STS. $xy (STS) = x (STS) * y (non-STS)$ no es posible, independientemente de que $x$ es un STS primario o no. Si alguien puede ayudarme por favor. Gracias.

Answer 1

Un número natural $m$ es un STS si en su factorización primaria cada primo de la forma $4k+3$ aparece a una potencia par (posiblemente la $0$ potencia si ese primo no aparece en la factorización). Supongamos ahora que $n=ab$ donde $n$ es un STS, y supongamos también que $a$ es un STS. Entonces en la factorización de $n$ el $4k+3$ Cada uno de los primos aparece a potencias pares, y la suposición sobre $a$ da que la factorización de la misma también contiene cada $4k+3$ primo a una potencia uniforme. Esto obliga a las potencias pares en el $4k+3$ primos en la factorización de $b,$ y así $b$ también es un STS.

Creo que tal vez la proposición de Euler sólo trataba de demostrar que los STS primos son primos en el anillo de enteros de Gauss.