Entender el círculo de la unidad

Question

Voy a necesitar saber esto (el círculo de la unidad, el inglés) para un examen, pero soy tan horrible con ambos gráficos y la memorización, todo el asunto está fallando en clavarse en mi cerebro. Usando un inglés no complicado (literalmente, podría ser la persona más tonta aquí [al menos lo he admitido, así que sé amable Dx]), ¿hay alguna mnemotecnia (lo sé, números e inglés), una lista, algún truco ridículamente fácil para esto?

Answer 1

Utilizo un truco "ridículamente fácil" para memorizar los valores trigonométricos de los ángulos:

Hay 5 ángulos que se utilizan principalmente a partir del círculo unitario: 0, 30, 45, 60, 90. Este truco proporcionará los valores de seno, coseno y tangente para los 5.

Sine

1) Comienza escribiendo los números del 0 al 4 en orden ascendente: $0, 1, 2, 3, 4$

2) Divide todos los valores por 4: $\frac{0}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}$

3) Simplifica todas las fracciones: $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1$

4) Haz la raíz cuadrada de los numeradores y denominadores: $\left(\sqrt 0\right), \left(\frac{\sqrt(1)}{\sqrt(4)}\right), \left(\frac{\sqrt(1)}{\sqrt(2)}\right), \left(\frac{\sqrt(3)}{\sqrt(4)}\right), \left(\sqrt{1}\right)$

5) Simplifica las fracciones: $0, \left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt(2)}\right), \left(\frac{\sqrt(3)}{2}\right), 1$

Y los valores resultantes son sus valores de seno en ascendente orden de grado:

$\sin 0 = 0 $

$\sin 30 = \left(\frac{1}{2}\right)$

$\sin 45 = \left(\frac{1}{\sqrt(2)}\right) $ Esto puede ser racionalizado para $\left(\frac{\sqrt(2)}{2}\right)$ multiplicando por $\left(\frac{\sqrt(2)}{\sqrt(2)}\right)$

$\sin 60 =\left(\frac{\sqrt(3)}{2}\right)$

$\sin 90 = 1 $

Coseno

Sus valores de coseno son las mismas fracciones anteriores, pero en descendente orden de grado. (orden inverso al del seno)

$\cos 0 = 1 $

$\cos 30 = \left(\frac{\sqrt(3)}{2}\right)$

$\cos 45 = \left(\frac{1}{\sqrt(2)}\right) $ Esto puede ser racionalizado para $\left(\frac{\sqrt(2)}{2}\right)$ multiplicando por $\left(\frac{\sqrt(2)}{\sqrt(2)}\right)$

$\cos 60 =\left(\frac{1}{2}\right)$

$\cos 90 = 0 $

Tangente

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Por lo tanto, la tangente de cualquier ángulo se puede calcular dividiendo el seno de ese ángulo por el coseno de ese ángulo.

Cotangente, Cosecante, Secante

Son simplemente las inversas de la tangente, el seno y el coseno de un ángulo.

Answer 2

$$\begin{array}{c|ccccc} & \;\;0^\circ & \;\;30^\circ\;\; & \;\;45^\circ\;\; &\;\; 60^\circ\;\; & \;\;90^\circ\\[0.1in]\hline \sin & \frac{\sqrt{0}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{4}}{2}\\[0.1in]\hline \cos & \frac{\sqrt{4}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{0}}{2} \end{array}$$

Answer 3

Así es como conozco los valores trigonométricos comunes (asumo que esto es lo que estás buscando, es difícil de entender por tu mensaje):

Simplemente recuerde que $\sin(0) = 0$ . Desde $\sin(0) = 0, \cos(0)$ debe ser igual a $1.$ Además, es fácil ver que $\sin(30) = \frac{1}{2}$ haciendo un dibujo. En este punto, sé que para obtener una hipotenusa de $1$ (para el círculo unitario), se podría deducir que $\cos(30) = \frac{\sqrt3}{2}$ utilizando el Teorema de Pitágoras. En este caso, ahora hay que tener en cuenta que $\sin$ y $\cos$ alternar o "voltear" a falta de una palabra complicada (¡complemento!). Lo que quiero decir con esto es que, $\sin(60) = \frac{\sqrt3}{2} = \cos(30)$ y $\cos(60) = \frac{1}{2} = \sin(30)$ .

Además, para $45$ grados, debería ser fácil ver que ambos $\sin$ y $\cos$ necesitan ser $\frac{\sqrt2}{2}$ ya que nuestra hipotenusa es $1$ para un círculo unitario.

Una forma alternativa:

$\sin (\theta)$ para $0, 30, 45, 60, 90$ grados sigue el orden de:

$$\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Para $\cos(\theta)$ es simplemente lo contrario.

Además, si tienes problemas para saber qué función es positiva en qué cuadrante, te sugiero la sencilla herramienta que aprendí en la escuela: ASTC (todos los estudiantes toman cálculo). Todas las funciones son positivas en el primer cuadrante, sólo $\sin$ es positivo en el segundo cuadrante, sólo $\tan$ es positivo en el tercero, y sólo $\cos$ es positivo en el cuarto cuadrante.

Answer 4

Suponiendo que se trata de valores de las funciones trigonométricas en ángulos "especiales" típicos (en los que la medida del ángulo y los valores de las funciones trigonométricas son relativamente sencillos), suelo llevar la cuenta de los valores basándome en tres hechos:

• $(\cos\theta,\sin\theta)$ es la imagen de rotación de $(1,0)$ por $\theta$ alrededor del origen, es decir, el coseno y el seno de un ángulo son, respectivamente, el $x$ - y $y$ -coordenadas del punto en el círculo unitario.
• Los lados de un triángulo 45°-45°-90° están en la proporción $1:1:\sqrt{2}$ . (diagrama de la wikipedia)
  
• Los lados de un triángulo de 30°-60°-90° (delineados en azul, la mitad de un triángulo equilátero) están en la proporción $1:\sqrt{3}:2$ . (diagrama de la wikipedia)
  

Para calcular el coseno y el seno de un ángulo especial:

1. encontrar el punto correspondiente en el círculo unitario
2. si el punto está en el $x$ - o $y$ -eje, no se necesitan triángulos
3. De lo contrario, coloque un triángulo similar a uno de los dos triángulos de arriba dentro del círculo unitario, de manera que la hipotenusa sea un radio del círculo y un cateto se encuentre en el $x$ -eje ( no el $y$ -eje); como estamos trabajando en el círculo unitario, los lados serán $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y 1 o $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\frac{1}{\sqrt{2}}$ y 1.
4. si el punto no está en el primer cuadrante, añada signos negativos a los tramos según sea necesario (si el tramo/los tramos están en el negativo $x$ - o $y$ -dirección)
5. leer el coseno y el seno como el $x$ - y $y$ -coordenadas, que son los catetos del triángulo con signos negativos insertados según sea necesario.

Si necesitas una de las otras funciones trigonométricas, encuentra el seno y el coseno y úsalos para calcular la otra función trigonométrica.