Estoy leyendo apuntes sobre optimización y se afirmaba que todos los conos poliédricos en $K\subseteq \mathbb{R}^n$ puede escribirse Cone(R) donde $R\subseteq \mathbb{R}^n$ es un conjunto finito. Es decir, si K es un cono poliédrico, entonces $K=\{\sum_{i=1}^k a_i h_i: a_i\geq 0 \}$ para algún conjunto finito $R:=\{h_1,...,h_k\}\subseteq \mathbb{R}^n$ .
Me gustaría convencerme de que esto es cierto. Parece intuitivamente obvio, pero no sé cómo demostrarlo. Ya sé que todos los conjuntos poliédricos acotados pueden expresarse como el casco convexo de un número finito de puntos. Una dirección que estoy considerando es cómo utilizar ese resultado aquí.
Respuesta
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El cono poliédrico $K$ se define como una intersección de un número finito de semiespacios, es decir $K=\{x\in\mathbb{R}^n\colon Ax\ge 0\}$ , donde $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ . Desde $\text{Im}\,A$ es un subespacio, se puede representar como un núcleo de alguna matriz $M$ Es decir $\ker M=\text{Im} A$ . Por lo tanto, tenemos $$ y=Ax,\ x\in K\qquad\Leftrightarrow\qquad y\in Y=\{y\in\mathbb{R}^m\colon\ My=0,\ y\ge 0\}.\tag1 $$ Introducir el conjunto $$ P=\{z\in Y\colon\ (\matrix{1 & 1 & \ldots & 1})z=1\}. $$ Es un conjunto poliédrico acotado, por lo tanto, finitamente generado (según lo que sabes) $$ \exists z_1,z_2,\ldots,z_N\in P\colon\ P=\text{conv}\{z_1,z_2,\ldots,z_N\}. $$ Por lo tanto, incluso $Y$ es un cono (positivo) finitamente generado $$ Y=\text{cone}\{z_1,z_2,\ldots,z_N\} $$ ya que cualquier $y\in Y$ es una escala no negativa de algún $z\in P$ .
Ahora por $(1)$ podemos elegir $x_k\in K$ tal que $z_k=Ax_k$ y somos casi hecho de encontrar un conjunto generador finito para $K$ . El problema menor que queda es $\ker A$ . En realidad, es bastante fácil ver que $$ K=\ker A+\text{cone}\{x_1,x_2,\ldots,x_N\}. $$ Lo dejo como un ejercicio (junto con el hecho de que $\ker A$ es un cono generado finitamente).
