Demuestra que $\int_a^b |f'| \leq TV(f)$ y demostrar que esto es una igualdad $iff$ $f$ es absolutamente continua.

Question

Dejemos que $f$ sea de variación acotada en $[a,b]$ y definir $v(x) = TV(f_{[a,x]}$ para todos $x \in [a,b]$ .

Demuestra que $\int_a^b |f'| \leq TV(f)$ y demostrar que esto es una igualdad $iff$ $f$ es absolutamente continua.

$proof$ :

prueba: Sea $P$ sea la partición trivial de $[a,x]$ para todos $x \in (a,b]$ . Entonces tenemos eso:

$v(x+h) \geq V(f,P) = |f(x+h)-f(a)|$

$v(x) \geq V(f,P) = |f(x)-f(a)|$

Y así tenemos:

$v'(x) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$\geq \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|f(x+h)-f(a) - f(x) + f(a)|}{h}$

$\geq \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}$

$=f'(x)$

Además, $f$ puede escribirse como una suma de funciones monótonas, y $v$ es una función monótona, por lo que ambas son diferenciales en casi todas partes, por lo que la desigualdad anterior se cumple en casi todas partes.

Además, por la monotonía de la integral tenemos:

$\int_a^b |f'| \leq \int_a^b v' = TV(f,[a,b]) - TV(f,[a,a]) = TV(f,[a,b])$ $\\$

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¿Es esto correcto? Además, ¿cómo puedo demostrar que la igualdad se mantiene si $f$ es absolutamente continua? ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Para cualquier partición $a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$ tenemos \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}|f(t_{i})-f(t_{i-1})|&=\sum_{i=1}^{n}\left|\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(x)dx\right|\\ &\leq\sum_{i=1}^{n}\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|f'(x)|dx\\ &=\int_{a}^{b}|f'(x)|dx, \end{align*} así que $TV(f)\leq\displaystyle\int_{a}^{b}|f'(x)|dx$ se establece.

A continuación denotamos $\text{sgn}f'(x)=1$ para $f'(x)\geq 0$ y $\text{sgn}f'(x)=0$ para $f'(x)<0$ entonces $\text{sgn}f'\in L^{1}[a,b]$ y, por tanto, pueden aproximarse mediante funciones escalonadas $\varphi$ en $[a,b]$ en $L^{1}$ sentido.

Tenga en cuenta que para \begin{align*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\chi_{(t_{i-1},t_{i})}(x), \end{align*} tenemos \begin{align*} \max(\min(\varphi(x),1),-1)=\sum_{i=1}^{n}\max(\min(a_{i},1),-1)\chi_{(t_{i-1},t_{i})}(x), \end{align*} y \begin{align*} |\max(\min(\varphi(x),1),-1)-\text{sgn}f'(x)|\leq|\varphi(x)-\text{sgn}f'(x)|, \end{align*} por lo que podemos suponer que todos los $a_{i}$ son tales que $|a_{i}|\leq 1$ .

En consecuencia, \begin{align*} \int_{a}^{b}|f'(x)|dx&=\int_{a}^{b}f'(x)\text{sgn}f'(x)dx\\ &=\int_{a}^{b}f'(x)(\text{sgn}f'(x)-\varphi(x))dx+\int_{a}^{b}f'(x)\varphi(x)dx. \end{align*} Podemos utilizar el Teorema de Convergencia Dominante de Lebesgue para que el término \begin{align*} \int_{a}^{b}f'(x)(\text{sgn}f'(x)-\varphi(x))dx \end{align*} sea arbitrariamente pequeño.

Ahora estimamos que \begin{align*} \left|\int_{a}^{b}f'(x)\varphi(x)dx\right|&\leq\sum_{i=1}^{n}|a_{i}|\left|\int_{a}^{b}f'(x)\chi_{(t_{i-1},t_{i})}(x)dx\right|\\ &\leq\sum_{i=1}^{n}\left|\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(x)dx\right|\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left|f(t_{i})-f(t_{i-1})\right|\\ &\leq TV(f), \end{align*} hemos terminado.