Recomiendo leer el libro de Liu y el de Hartshorne al mismo tiempo. Esto me sirvió para empezar. Hay muchos otros libros que podrás digerir mucho más fácilmente después de leer estos libros. Por supuesto, no debes leer todo en estos libros al principio. Tendrás que averiguar qué partes son importantes para lo que estás tratando de aprender.
Si los ejercicios en Hartshorne le molestan, puede buscar soluciones disponibles en la web. [Editar: Ver la discusión de abajo para saber por qué esto no es tan buen consejo].
Edixhoven me dijo una vez que hacer geometría algebraica debería consistir en un saludable combinación de teoría de categorías, álgebra conmutativa y geometría. Siguiendo su filosofía, deberías intentar desarrollar un poco de sentimiento por estos temas.
Respecto a las cosas que mencionas en tu pregunta, están muy bien explicadas en el libro de Liu. Creo que el capítulo 7 es el que necesitas.
Si estos libros le parecen demasiado difíciles al principio, intente leer el programa del siguiente curso de B. Edixhoven y L. Taelman disponible aquí
http://www.math.leidenuniv.nl/~edix/teaching/2010-2011/AG-mastermath/index.html
El curso pretende demostrar la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos. La demostración utiliza Riemann-Roch, la dualidad de Serre y la teoría de la intersección en superficies. Las seis primeras conferencias sirven de motivación y las conferencias 7-14 preparan y dan la demostración del teorema de Weil.
